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Université Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2011 - 2012 Respons

Université Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2011 - 2012 Responsables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 17 octobre 2011 Relecture : V. Morice, A. Mallet, F. Carrat et S. Tézenas 2/179 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 2011 - 2012 Sommaire 2011 - 2012 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 3/179 Sommaire 3 Sommaire 9 Avant-propos 11 Introduction 11 1 La variabilité et l’incertain 12 2 La mesure d’une grandeur 12 2.1 Unités et équations aux dimensions 13 2.2 Erreurs de mesure 14 3 La décision dans l’incertain 15 Chapitre 1 : Statistique(s) et Probabilité(s) 15 1.1 Statistique 15 1.2 Population et échantillon 16 1.3 Statistique et probabilité 19 Chapitre 2 : Rappels mathématiques 19 2.1 Ensembles, éléments 19 2.2 Opérations sur les ensembles 21 2.3 Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables 21 2.4 Ensembles produits 22 2.5 Familles d’ensembles 22 2.6 Autres rappels mathématiques 22 2.6.1 Rappel sur les sommes 23 2.6.2 Rappel sur les intégrales 25 Chapitre 3 : Eléments de calcul des Probabilités 25 3.1 Introduction 26 3.2 Expérience aléatoire, ensemble fondamental et événements 27 3.3 Opérations sur les événements 27 3.4 Règles du calcul des probabilités 29 3.5 Remarque 29 3.6 Illustration de quelques ensembles probabilisés 29 3.6.1 Ensemble probabilisé fini 30 3.6.2 Ensemble fini équiprobable 30 3.6.3 Ensembles probabilisés infinis Sommaire 4/179 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 2011 - 2012 30 3.6.3.1 Cas dénombrable 31 3.6.3.2 Cas d’un ensemble probabilisé infini non dénombrable 33 Chapitre 4 : Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes 33 4.1 Probabilité conditionnelle 34 4.2 Théorème de la multiplication 35 4.3 Diagramme en arbre 36 4.4 Théorème de Bayes 38 4.5 Indépendance entre événements 38 4.6 Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements 41 Chapitre 5 : Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales 41 5.1 Introduction 41 5.1.1 Le diagnostic 42 5.1.2 Les informations médicales 42 5.1.3 Situation expérimentale et estimation 43 5.2 Les paramètres de l’évaluation 43 5.2.1 Sensibilité et spécificité 44 5.2.2 Valeurs prédictives 44 5.2.3 Comparaison des deux couples de paramètres 45 5.2.4 Choix d’un seuil : courbes ROC 47 5.3 Estimation des paramètres de l’évaluation 47 5.3.1 Un échantillon représentatif 47 5.3.1.1 Les données 47 5.3.1.2 Estimation de la sensibilité et de la spécificité 48 5.3.1.3 Estimation des valeurs prédictives 49 5.3.2 Deux échantillons représentatifs 51 Chapitre 6 : Variables aléatoires 51 6.1 Définition d’une variable aléatoire 52 6.2 Variables aléatoires finies 52 6.2.1 Représentation d’une loi de probabilité finie 52 6.2.2 Espérance mathématique d’une variable finie 55 6.2.3 Variance et écart-type d’une variable finie 55 6.2.4 Loi de probabilité produit 57 6.2.5 Variables aléatoires indépendantes 57 6.2.6 Fonction de répartition 58 6.3 Variables infinies dénombrables (hors programme) 59 6.4 Variables aléatoires continues 61 6.5 Extension de la notion de variable aléatoire Sommaire 2011 - 2012 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 5/179 63 Chapitre 7 : Exemples de distributions 63 7.1 Lois discrètes 63 7.1.1 Loi de Bernoulli 63 7.1.2 Loi binomiale 66 7.1.3 Loi de Poisson 67 7.2 Lois continues 67 7.2.1 Loi normale 67 7.2.1.1 Définition 67 7.2.1.2 Propriétés 70 7.2.2 Loi du χ2 (chi-2) 70 7.2.2.1 Définition 71 7.2.2.2 Propriétés 71 7.2.3 Loi de Student (hors programme) 72 7.2.4 Loi exponentielle (hors programme) 73 7.3 Application de la Loi de Poisson à l’interprétation d’un risque sanitaire possible qui n’a pas encore été observé 73 7.3.1 Introduction 73 7.3.2 Le problème « direct » 74 7.3.3 Problème inverse 75 7.3.4 Application numérique 75 7.3.5 Remarque 77 Chapitre 8 : Statistiques descriptives 77 8.1 Rappels et compléments 78 8.2 Représentation complète d’une série d’expériences 78 8.2.1 Cas d’une variable qualitative 79 8.2.2 Cas d’une variable quantitative discrète 80 8.2.3 Cas d’une variable quantitative continue. Notion d’HISTOGRAMME 81 8.3 Représentation simplifiée d’une série d’expériences 81 8.3.1 Indicateurs de localisation des valeurs 81 8.3.2 Indicateurs de dispersion des valeurs 82 8.4 Reformulation de la moyenne et de la variance observées 82 8.4.1 Reformulation de la moyenne observée 83 8.4.2 Reformulation de la variance observée 84 8.5 Cas particulier d’une variable à deux modalités - Proportion 84 8.5.1 Expression de l’espérance mathématique de X 84 8.5.2 Expression de la variance de X 85 8.5.3 Interprétation de la moyenne observée 85 8.6 Conclusion : la variable aléatoire moyenne arithmétique 87 Résumé du chapitre Sommaire 6/179 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 2011 - 2012 89 Chapitre 9 : Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique 89 9.1 Première propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique 89 9.1.1 Un exemple 90 9.1.2 Généralisation 91 9.2 Seconde propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique : le théorème central limite 92 9.3 Etude de la distribution normale (rappel) 94 9.4 Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.) 94 9.4.1 Définition de l’intervalle de pari (I. P.) d’une moyenne observée 96 9.4.2 Les facteurs de dépendance de la longueur de l’intervalle de pari (IP) 97 9.4.3 L’intervalle de pari d’une variable aléatoire 98 Résumé du chapitre 99 Chapitre 10 : Estimation - Intervalle de confiance 99 10.1 Introduction 100 10.2 Estimation ponctuelle 100 10.2.1 Définition 100 10.2.2 Propriétés 100 10.2.2.1 Biais 101 10.2.2.2 Variance 101 10.2.2.3 Erreur quadratique moyenne 101 10.2.3 Exemple 102 10.3 Estimation par intervalle - Intervalle de confiance 102 10.3.1 Exemple d’une proportion 105 10.3.2 Intervalle de confiance approché d’une proportion « vraie » 105 10.3.3 Intervalle de confiance approché d’une moyenne « vraie » (variable continue) 106 10.3.4 Applications 106 10.3.4.1 Précision d’un sondage 107 10.3.4.2 Précision d’une moyenne 109 Chapitre 11 : Les tests d’hypothèses. Principes 109 11.1 Un exemple concret (emprunté à Schwartz) 112 11.2 Principe général des tests d’hypothèses 112 11.2.1 Les étapes de mises en œuvre 114 11.2.2 Justification de la règle de décision. Choix de α 114 11.2.2.1 Interprétation de α 114 11.2.2.2 Effet d’un changement de valeur de α 115 11.2.3 Justification des conclusions du test. Puissance d’un test 118 11.2.4 Amélioration de l’interprétation du rejet de H0 118 11.2.4.1 Notion de degré de signification Sommaire 2011 - 2012 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 7/179 119 11.2.4.2 Orientation du rejet 120 11.3 Rappels et précisions 122 Résumé du chapitre 123 Chapitre 12 : Quelques tests usuels 123 12.1 Tests concernant des variables de Bernoulli 123 12.1.1 Test d’égalité d’une proportion « vraie » à une valeur donnée (ou test de comparaison d’une proportion observée à une valeur donnée) 123 12.1.1.1 Mise en place du test 124 12.1.1.2 Autre interprétation du paramètre z 125 12.1.1.3 Nombre de sujets nécessaires 125 12.1.2 Test d’égalité de deux proportions « vraies » (ou test de comparaison de deux proportions observées) 125 12.1.2.1 Mise en place du test 127 12.1.2.2 Nombre de sujets nécessaires 127 12.2 Tests concernant des variables quantitatives 127 12.2.1 Tests impliquant une valeur donnée 128 12.2.1.1 Test d’égalité d’une moyenne « vraie » à une valeur donnée (ou test de comparaison d’une moyenne observée à une valeur donnée) 129 12.2.1.2 Test de symétrie d’une variable (X) par rapport à une valeur donnée (μ0) : test de Wilcoxon 130 12.2.2 Tests de comparaison de variables quantitatives 130 12.2.2.1 Test d’égalité de deux moyennes « vraies » (ou test de comparaison de deux moyennes observées) 131 12.2.2.2 Test d’égalité de deux distributions (ou test de comparaison de deux distributions observées) : test de Mann-Whitney-Wilcoxon 133 12.2.3 Cas des séries appariées 133 12.2.3.1 Test de comparaison de deux moyennes observées sur séries appariées 134 12.2.3.2 Test de symétrie de la distribution des différences 135 Résumé du chapitre 137 Chapitre 13 : Tests concernant des variables qualitatives 137 13.1 Comparaison d’une répartition observée à une répartition donnée ou test du χ2 d’ajustement 138 13.1.1 Les étapes de mise en œuvre 142 13.1.2 Cas particulier : variable à deux modalités 143 13.2 Comparaison de plusieurs répartitions observées ou test du χ2 d’homogénéité 146 13.3 Test d’indépendance entre deux variables qualitatives 150 Résumé du chapitre Sommaire 8/179 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 2011 - 2012 151 Chapitre 14 : Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation 151 14.1 Introduction 152 14.2 Abord du problème 154 14.3 Un indicateur de covariation : le coefficient de corrélation 158 14.4 Le coefficient de corrélation « vrai » 159 14.5 Test d’égalité du coefficient de corrélation « vrai » ρ à 0 161 Résumé du chapitre 163 Chapitre 15 : Méthodologie des études épidémiologiques 163 15.1 La causalité 164 15.2 Démarche expérimentale et démarche d’observation 165 15.3 Les essais randomisés 165 15.3.1 Définition 165 15.3.2 Comment limiter les biais dans le déroulement d’un essai thérapeutique randomisé ? Aveugle et placebo 166 15.3.3 Comment limiter les biais dans l’analyse d’un essai thérapeutique randomisé ? Intention de traiter 167 15.4 Les études d’observation 167 15.4.1 Cohortes - Cas-témoins et études transversales 168 15.4.2 Etudes prospectives et rétrospectives 168 15.4.3 Données longitudinales 169 15.4.4 En pratique 169 15.5 Mesures d’association utilisées en épidémiologie 171 Résumé du chapitre 173 Annexe A : Tables statistiques 174 A.1 TABLE DE LA VARIABLE NORMALE REDUITE Z 175 A.2 TABLE uploads/Histoire/ bio-statistique 1 .pdf