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BÉCÉAS 2017 Banque d’Épreuves des Concours des Écoles d’Actuariat et Statistiqu

BÉCÉAS 2017 Banque d’Épreuves des Concours des Écoles d’Actuariat et Statistique Session 2017 Épreuve de mathématiques Durée : 4h Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont déﬁnies sur le même espace probabilisable (Ω, A ). On note P une probabilité sur cet espace. On note E(X ) et Var(X ) les espérance et variance (pour la probabilité P) d’une variable X . Si A ∈A , on note 1A son indicatrice, c’est-à-dire l’application qui à chaque ω ∈Ωassocie 1 si ω ∈A et 0 sinon. Si A ∈A est de probabilité non nulle, on note PA la probabilité conditionnelle sachant A et, s’il y a lieu, EA(X ) l’espérance, pour PA, d’une variable aléatoire X . On pose, pour tout entier naturel n non nul, Hn = n X k=1 1 k · L’objet du problème est, principalement, l’étude de la variable aléatoire égale au maximum de n variables indépendantes toutes de même loi géométrique. La partie I regroupe des questions indépendantes dont les résultats seront utilisés par la suite. Mathématiques Mercredi 17 mai, matin Page 1/6 BÉCÉAS 2017 Partie I. Préliminaires 1. Un résultat bien connu a) Montrer que la suite de terme général un = Hn −lnn est monotone. b) En déduire l’existence d’un réel noté γ pour lequel on a, quand l’entier n tend vers +∞, Hn = lnn +γ+o(1). 2. Un résultat de bornitude... Soit f une fonction continue de I R + dans I R. On suppose que la fonction f a une limite nulle en +∞. Montrer que la fonction f est bornée. 3. Une formulation intégrale des moments d'une variable positive Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN. a) Établir, pour tout entier naturel N, l’égalité : N X k=0 P([ X > k ]) = N X k=1 k P([ X = k ])+(N +1)P([ X > N ]). b) On suppose que la variable X possède une espérance. (i) Établir l’égalité : lim N→+∞(N +1)P([ X > N ]) = 0. (ii) En déduire que la série X P([ X > n ]) converge et qu’on a l’égalité : E(X ) = +∞ X n=0 P([ X > n ]). c) On suppose, réciproquement, que la série X P([ X > n ]) converge. Montrer que la variable X possède une espérance qu’on a l’égalité : E(X ) = +∞ X n=0 P([ X > n ]). d) (i) Vériﬁer que la fonction qui à chaque réel t associe P([ X > t ]) est continue par morceaux sur I R. (ii) Montrer que X a une espérance si, et seulement si, l’intégrale Z+∞ 0 P([ X > t ])dt converge et que, dans ce cas, on a l’égalité : E(X ) = Z+∞ 0 P([ X > t ])dt. e) Montrer que X a un moment d’ordre 2 si, et seulement si, l’intégrale Z+∞ 0 t P([ X > t ])dt converge et que, dans ce cas, on a l’égalité : E(X 2) = 2 Z+∞ 0 t P([ X > t ])dt. Mathématiques Mercredi 17 mai, matin Page 2/6 BÉCÉAS 2017 4. Autour du produit de convolution Soit (un)n∈IN et (vn)n∈IN deux suites réelles. On pose, pour tout entier naturel n, wn = n X k=0 ukvn−k . On suppose que, pour tout réel x, les séries X unxn et X vnxn convergent absolument. On rappelle, ou on admet, qu’alors, pour tout réel x, la série X wnxn converge absolu- ment et qu’on a l’égalité : +∞ X n=0 wnxn = ³ +∞ X n=0 unxn´³ +∞ X n=0 vnxn´ . Soit (an)n∈IN et (bn)n∈IN deux suites réelles. On pose, pour tout entier naturel n, cn = n X k=0 Ã n k ! akbn−k . On suppose que, pour tout réel x, les séries X an n! xn et X bn n! xn convergent absolument. Montrer que, pour tout réel x, la série X cn n! xn converge absolument et qu’on a l’égalité : +∞ X n=0 cn n! xn = ³ +∞ X n=0 an n! xn´³ +∞ X n=0 bn n! xn´ . 5. Loi conditionnelle d'un vecteur aléatoire a) Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p ∈]0,1[. Quelle est la loi de X −1 pour la probabilité conditionnelle P[X >1]? b) Soit r ∈IN* et X1, X2, ... , Xr des variables aléatoires indépendantes toutes de même loi, chacune suivant la loi géométrique (sur IN*) de paramètre p ∈]0,1[. On note A = r \ i=1 [Xi > 1]. Montrer que le vecteur aléatoire (X1 −1, X2 −1,..., Xr −1) a, pour la probabilité condi- tionnelle PA, même loi que le vecteur aléatoire (X1,X2,...,Xr ) (pour la probabilité P). 6. La formule de l'espérance totale Soit (Ω,A ,P) un espace probabilisé. a) Soit A un événement de probabilité non nulle et soit X une variable aléatoire possé- dant une espérance. Montrer que le produit X 1A a une espérance et exprimer E(X 1A) à l’aide de EA(X ). b) On considère des événements A1, A2, ... , An, chacun étant de probabilité non nulle, formant une partition de Ω. Soit X une variable aléatoire, déﬁnie sur l’espace (Ω,A ,P), à valeurs dans IN et possédant une espérance. Établir l’égalité : E(X ) = n X k=1 EAk(X )P(Ak). Mathématiques Mercredi 17 mai, matin Page 3/6 BÉCÉAS 2017 Dans toute la suite du problème on considère une suite (Xn)n∈IN∗de variables aléatoires in- dépendantes toutes de même loi, chacune suivant la loi géométrique (sur IN*) de paramètre p ∈]0,1[. On pose q = 1−p. On note, pour tout entier naturel n non nul et tout ω ∈Ω, In(ω) = min(X1(ω),X2(ω),...,Xn(ω)) et Mn(ω) = max(X1(ω), X2(ω),..., Xn(ω)). 7. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, l’application In est une variable aléatoire sur l’espace probabilisé (Ω,A ,P). Il en est de même, et on l’admet, de l’application Mn. Partie II. Étude du minimum 1. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, In suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre. 2. Quelles sont les limites de E(In), Var(In) et, pour tout entier naturel k non nul, P([In = k ]) lorsque l’entier n tend vers +∞? 3. a) Soit ω ∈Ω. Justiﬁer l’existence d’une limite ﬁnie, notée ℓ(ω), pour la suite de terme général In(ω). b) Exprimer la partie L déﬁnie par L = © ω ∈Ω; ℓ(ω) = 1 ª en fonction des événements [In = 1] et en déduire que la partie L est un événement presque sûr. Partie III. Étude du maximum 1. L'espérance de Mn tend vers +∞ a) Soit n ∈IN*. (i) Justiﬁer l’existence d’une espérance pour la variable Mn et l’encadrement 1 p ⩽E(Mn) ⩽n p · (ii) Déterminer, pour tout entier naturel k, la valeur de P([Mn ⩽k ]). b) (i) Soit K ∈IN*. Établir, pour tout entier naturel n non nul, l’inégalité : E(Mn) ⩾E(Mn1[Mn⩽K ])+K P([Mn > K ]). (ii) En déduire que lim n→+∞E(Mn) = +∞. 2. Deux expressions de l'espérance de Mn Soit n ∈IN*. a) Établir l’égalité : E(Mn) = n X i=1 Ã n i ! (−1)i−1 1 1−qi · On utilisera le résultat de I-3-b-ii). b) On note ⌊x⌋la partie entière d’un réel x. Établir l’égalité : E(Mn) = Z+∞ 0 ³ 1−(1−q⌊t⌋)n´ dt. On utilisera le résultat de I-3-d-ii). Mathématiques Mercredi 17 mai, matin Page 4/6 BÉCÉAS 2017 3. Estimation de l'espérance de Mn a) Justiﬁer, pour tout entier naturel k, la convergence de l’intégrale Z+∞ 0 qt(1−qt)k dt et déterminer sa valeur. b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, l’égalité : Z+∞ 0 ³ 1−(1−qt)n´ dt = −Hn lnq · c) (i) Établir, pour tout entier naturel n non nul, l’encadrement : −Hn lnq ⩽E(Mn) ⩽−Hn lnq +1. En déduire l’équivalent de E(Mn) ∼−lnn lnq quand l’entier n tend vers +∞. (ii) Déduire de l’encadrement précédent, pour tout x ∈]0,1[, l’encadrement : − x 1−x ⩽ln(1−x) ⩽−x. 4. Estimation de la variance de Mn a) Soit k ∈IN. (i) Justiﬁer la convergence de l’intégrale Z+∞ 0 t qt(1−qt)k dt dont on note αk la valeur. (ii) Établir l’égalité αk = − 1 (k +1)lnq Z+∞ 0 ³ 1−(1−qt)k+1´ dt· b) Établir, pour tout entier naturel n non nul, l’égalité Z+∞ 0 t ³ 1−(1−qt)n´ dt = 1 ln2 q n X k=1 Hk k puis l’encadrement 2 ln2 q n X k=1 Hk k ⩽E(M2 n) ⩽1+ 2 ln2 q n X k=1 Hk k −2 Hn lnq · c) Établir, pour tout entier naturel n non nul, l’égalité : H2 n = 2 n X k=1 Hk k − n X k=1 1 k2 · d) En déduire l’estimation asymptotique Var(Mn) = O(lnn) quand l’entier n tend vers +∞. Partie IV. Comportement asymptotique de la suite (Mn)n∈IN∗ 1. Prouver, pour tout x ∈[0,1[, l’encadrement : −x2 1−x ⩽x +ln(1−x) ⩽0. 2. Soit n ∈IN*. Prouver, pour tout entier naturel k non nul, les majorations : ¯ ¯ ¯e−nqk −(1−qk)n¯ ¯ ¯ ⩽n q2k 1−qk uploads/Geographie/2017-sujets.pdf