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Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Universit

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou Faculté de Génie Electrique et Informatique Département Automatique MEMOIRE DE MAGISTER En Automatique Option : Automatique des Systèmes Continus et Productique Présenté par : Mme YOUSFI Safia Sujet : Développement d’algorithmes pour la commande H∞ des systèmes non linéaires : application à un procédé industriel. Mémoire soutenu le : devant le jury d’examen composé de : Président : Moussa DIAF Professeur UMMTO Rapporteur : Said DJENNOUNE; Professeur UMMTO Examinateur : Kamel HAMMOUCHE M.C.A UMMTO Examinateur : Rachid MANSOURI M.C.A UMMTO Examinateur : Ahmed MAIDI M.C.B UMMTO PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ♣ Remerciements ♣ Ce travail a été effectué au sein du Laboratoire de Conception de Systèmes de Production (L2CSP) de l’Université Mouloud Mammeri de Tizi Ouzou. J’adresse mes remerciements à Monsieur S. DJENNOUNE, Professeur à l’Université Mouloud Mammeri de Tizi Ouzou, et encadreur de ce mémoire, pour sa disponibilité et ses nombreux conseils. Je le remercie pour ses qualités humaines et pédagogiques qui m’ont permis de réaliser ce mémoire. Je tiens à exprimer ma gratitude à Monsieur M.DIAF, Professeur à l’UMMTO, pour nous avoir fait l’honneur de présider le jury. Ma gratitude à Monsieur K. HAMMOUCHE, Monsieur A. MAIDI et Monsieur R. MANSOURI ; Maîtres de conférences à l’UMMTO d’avoir accepté d’être examinateurs de ce mémoire. Je remercie également Monsieur Maâmar BETTAYEB, Professeur à l’université de Sharjah, Emirates Arabes Unis pour son soutien scientifique. Je tiens particulièrement à remercier mon époux et mes parents pour leur soutien et leur aide. Merci aussi à toute ma famille, mes collègues, mes amis(es) pour leurs encouragements. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Je dédie ce modeste travail : A la mémoire de ma mère A mon cher époux A mon adorable père A mes frères et sœurs A tous mes amis(es). Mme AIT BRAHAM Safia née YOUSFI PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Notations NOTATIONS , × Respectivement, ensemble des réels et ensemble des matrices de dimensions × à coefficients dans R. la variable de laplace ‖ ( )‖ Norme H∞ d’une fonction de transfert G(s) ‖ ( )‖ Norme H2 d’une fonction de transfert G(s) MT Transposée de M Ir Matrice identité de dimension r ( ) Rayon spectral de M . ( ) ième valeur singulière de M. et Respectivement, valeur singulière maximale et minimale. et Respectivement, fonctions de sensibilité et de sensibilité complémentaire en sortie et Respectivement, fonctions de sensibilité et de sensibilité complémentaire en entrée Matrice système associée à la matrice de transfert G(s) = C(sI - A)-1 B + D . ( , ) b F P K Transformation Linéaire Fractionnaire Inférieure. W(s) Filtre de pondération. LPV Système Linéaire à paramètres variants. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Notations LTI Système Linéaire invariant dans le temps. SISO Système monovariable. MIMO Système multivariable. LMI Inégalité matricielle linéaire. BMI Inégalité matricielle bilinéaire. NLMI Inégalité matricielle non linéaire BRL Lemme borné réel. ARE Equations Algébriques de Riccati PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com SOMMAIRE Introduction générale…………………………………………………………………... 1 Chapitre 1 : La commande robuste Introduction………………………………………………………………………………. 5 I.1 Etat de l’art …………………..……………………………………………………… 5 I.2. Principe de la commande robuste……………………………………………………. 8 I.2.1. Asservissement nominal……………………...…………………………... 9 I.2.1.1. Objectifs nominaux……………..………...………………………. 9 I.2.1.1.1. Stabilité nominale………………………………..…...… 9 I.2.1.1.2. Performances nominales……………………………….. 11 I.2.2. Asservissement réel……………...………………………………………… 16 I.2.2.1. Représentation des incertitudes…………………………………... 17 I.2.2.2. Les objectifs robustes…………………………………………….. 19 I.2.2.2.1. stabilité robuste………………….………………………. 20 I.2.2.2.2. Performances robustes……………..………………….. 22 Conclusion…………………………………………………………………………… 23 Chapitre 2 : Commande H∞ des systèmes linéaires Introduction………………………………………………………………………………. 24 II.1. Principe de la commande H∞……….………………………………………………. 24 II.2. Problème standard………….………………………………………………………. 25 II.2.1. La problèmatique de la commande H∞ …………………………………. 26 II.2.2. Introduction des fonctions de pondération………………………………. 27 II.2.3. Problème de sensibilité mixte…………….………………………………. 29 II.3. Calcul de la commande H∞ par la méthode basée sur les équations de Riccati……... 31 II.3.1. Hypothéses de résolution…………………………………..……………. 32 II.3.2. Description de la solution………………………………………..……….. 32 II.3.3. γ-itération ………………………………………..…………………….. 34 II.4. Application de la commande H∞ linéaire….………………………………………… 35 II.4.1. Application de la commande H∞ linéaire sur un pendule inversé……….... 35 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com II.4.2. Application de la commande H∞ linéaire sur une machine synchrone à aimant permanents.……………………………………………………………………………… 44 Conclusion……………………………………………………………………………… 52 Chapitre 3 : Commande H∞ des systèmes non linéaires Introduction………………………………………………………………………………. 53 III.1. La problèmatique de la commande H∞ non linéaire…………………...…………… 54 III.1.1. Gain L2……………………………………….………………………… 55 III.1.2. Définition d’un système dissipatif…………….……………………..… 55 III.1.3. problème de commande H∞ non linéaire ……………………...……… 56 III.2. Hypothéses d’existence de la commande H∞ non linéaire………..……………… 56 III.3. Solution du problème H∞ des systèmes non linéaires……………………………… 58 III.4. Résolution du problème de commande H∞ non linéaire via la méthode des approximations successives …………………………………...…………………………. 59 III.5. Application de la commande H∞ non linéaire…..…………………………………. 63 III.5.1. Application de la commande H∞ non linéaire sur un modèle de pendule inversé ……………………………………………………………………………………. 63 III.5.2.Application de la commande H∞ non linéaire sur la machine synchrone…………………………………………………………………………………. 69 III.5.3. Comparaison des deux commandes linéaire et non linéaire ...……………..…….. 73 Conclusion……………………………………………………………………………… 74 Chapitre 4 : Résolution du problème de commande H∞ par les Inégalités Matricielles Introduction………………………………………………………………………….…… 76 IV.1. Definition des Inégalités Matricielles Linéaires …….…………………………….. 77 IV.2. Problème sous forme LMI……………………………………………………...….. 78 IV.2.1.La faisabilité………………….……………………………………...…… 78 IV.2.2. L’optimisation…………………...…………………………………...….. 78 IV.3. Toolbox LMI de MATLAB………………...……………………………………… 79 IV.3.1. Spécifications des LMI…………………………………………………... 79 IV.3.2. Résolution d’une LMI …………………………………………………… 80 IV.4. Utilisation des LMI dans la commande H∞ linéaire et non linéaire …...…………... 80 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com IV.4.1. Résolution du problème H∞ standard par les inégalités matricielles linéaires…………………………………………………………………………………… 80 IV.4.1.1. La faisabilité……………….……………………..…………… 82 IV.4.1.2. Réalisation du correcteur………………..………………….… 82 IV.4.1.3. Synthése avec contrainte sur l’ordre du correcteur………..….. 84 IV.4.2. Resolution du pronlème de commande H∞ non linéaire via les NLMI … 85 IV.4.2.1. Méthode des inégalités matricielles non linéaires NLMI…….. 85 IV.4.2.2. Conditions de solubilité du problème de commande H∞ non linéaire……………………………………………………………………………………. 86 IV.4.3. Application de la commande H∞ basée sur les LMI et NLMI…...……... 88 IV.4.3.1. Application de la commande H∞ basée sur les LMI et NLMI sur un modèle non linéaire d’un pendule inversé……………………………………….……. 89 IV.4.3.2. Application sur un moteur synchrone………………………..…. 93 IV.4.3.3. Etude comparative………………… ………………………..…. 98 Conclusion………………………………………………………………………………. 105 Conclusion générale…………………………………………………………………… 106 Annexe A : Les normes……………………………..…………………………………… 108 Annexe B : Modèle du pendule inversé………………………………………………… 114 Annexe C : modèle d’une machine synchrone à aimant permanant…………………… 117 Annexe D : Convexité...……………………………..…………………………………… 122 Références bibliographiques PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com INTRODUCTION GENERALE PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Introduction générale 1 La synthèse d'une loi de commande d’un système se fait sur un modèle qui est une traduction mathématique d’une réalité physique, établie dans le but de : Ø Transcrire le plus exactement possible la réalité observée du système. Ø Prédire le comportement du système vis-à-vis des situations pas forcément connues. La modélisation se fait en considérant le système comme : - boite noire, quand on n’a aucune notion sur ce dernier. -boite blanche, quand on le connait parfaitement. - boite grise quand le système est partiellement connu. A partir de là, on peut distinguer deux types de modèle : Les modèles de connaissances qui contiennent toutes les informations utiles sur le processus étudié ; et les modèles de représentations qui sont constitués d’un ensemble de relations mathématiques qui relient les différentes variables du processus. La réalité dynamique d’un processus ne peut être qu’imparfaitement traduite par des relations mathématiques, ceci sousentend que le modèle d’un système est loin de représenter sa réalité, d’où les incertitudes. Lors de la modélisation, les incertitudes peuvent être volontaires (Parfois les modèles très précis sont très complexes, d’où la nécessité de faire des hypothèses de linéarisation, de la réduction de modèle, des approximations numériques, de négliger des dynamiques…) ou involontaires, elles sont dus aux erreurs d’identification des paramètres, aux erreurs de mesure, et aux perturbations externes. Donc un modèle, aussi parfait soit il, n’est qu’une approximation de la réalité. Or la commande recherchée doit assurer des performances, telles que stabilité, précision, rapidité, atténuation des effets des perturbations et des bruits, . . ., pour le modèle ; mais surtout pour le processus qu’il représente, c’est ainsi que s’introduit l’idée de robustesse qui est définie comme la propriété qui traduit l’invariance d’un comportement en présence des incertitudes. La première question de l'analyse de la robustesse concerne la stabilité. L'analyse de la robustesse en stabilité consiste à confirmer si le système demeure stable malgré les incertitudes. On peut aussi souhaiter que le système maintient certaines performances. L'analyse de la robustesse en performance nous informe si le système maintient les performances prévues en présence des incertitudes. Avant l'analyse de la robustesse, c'est-à-dire l’étude des modifications du comportement du système en présence des incertitudes, il convient de connaitre son fonctionnement nominal. La première question est celle de la stabilité nominale, la seconde est celle des performances nominales. Une étude de robustesse en stabilité et en performance n'a de sens que si la stabilité nominale et les performances nominales sont assurées. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Introduction générale 2 Les commandes qui garantissent la robustesse des systèmes sont dites : Commandes robustes. Ces commandes ont été uploads/Geographie/ yousfi-safia-auto.pdf