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Revue XYZ • N° 156 – 3e trimestre 2018 36 Les déformations Toute projection d’u

Revue XYZ • N° 156 – 3e trimestre 2018 36 Les déformations Toute projection d’un ellipsoïde sur un plan induit des déformations. On peut prendre comme image un ballon de baudruche que l’on essaie d’aplatir sur une table et que l’on va étirer pour arri ver au résultat, alors on déforme mais pas de la même façon partout. Autre analogie la peau d’une orange que l’on veut aplatir sur la table, et qui va se déchirer jusqu’à ce que les morceaux puissent être aplatis avec des déforma tions très petites et non déchirantes. Pour représenter la Terre entière, donc à des échelles très petites, on va plutôt procéder comme pour le ballon de baudruche, tandis que pour les grandes ou moyennes échelles (ex. : 1/5 000, 1/25 000, etc.) on va découper la Terre en zones, correspondant à un continent, un pays, à des zones plus petites délimitées par des méridiens et des parallèles. Pour chacune de ces zones, on définira une projection et ses paramètres qui feront le moins de déformation. Les longueurs sont toujours altérées car la sphère ou l’ellipsoïde ne sont pas développables sur un plan et pour quantifier cette déformation on intro duit le module linéaire : Avec ds élément de longueur infinité simal sur l’ellipsoïde et dS l’élément correspondant sur le plan. Un point de la Terre qui est sur la surface topographique est repéré par ses coor données géographiques : longitude (λ), latitude (φ) et hauteur (h). La première étape consiste à projeter le point sur l’ellipsoïde en un point Mo qui a les mêmes longitude et latitude que le point M. La deuxième étape est une transforma tion de l’ellipsoïde en plan, en réalisant une application qui à toutes coordon nées (λ, j) du point fait correspondre des coordonnées du plan cartésien (x,y). L ’application réciproque existe. En général l’expression mathématique est de la forme Remarque : le plus souvent, mais pas systématiquement, l’axe x est dirigé vers l’Est et y vers le Nord et les coor données (x,y) se notent aussi (E,N) pour easting et northing. Ces fonctions peuvent être très compli quées mais aussi très simples comme par exemple la représentation plate carrée (Figure 4) qui était déjà utilisée par Eratosthène (273-192 av. J.-C.) bien que la latitude et longitude n’étaient pas utilisées à cette époque. où a est le rayon de la sphère représentant la Terre Qu’est-ce qu’une représentation plane de la Terre On choisit tout d’abord une forme géométrique approchée de la Terre débarrassée de ses reliefs. Lorsque l’on veut faire une représentation à très petite échelle (par exemple 1/100 000 000) on choisit une sphère, tandis que pour les cartes à moyennes et grandes échelles on utilise un ellip soïde de révolution. Leurs dimensions proches de 6 400 km pour le rayon d’une sphère et un aplatissement proche de 1/300 pour un ellipsoïde, diffèrent de plusieurs centaines de mètres. Historiquement quelques sphères (sphère de Picard : R=6371598 m) et de nombreux ellipsoïdes (Clarke, Hayford, Bessel, Krakovski…) ont été utilisés. La tendance actuelle est de choisir quelle que soit l’échelle de la carte l’ellipsoïde WGS84 ou ce qui est équivalent à mieux que le millimètre l’ellipsoïde internatio nal GRS80. Les représentations planes de la Terre Françoise DUQUENNE Depuis l’antiquité on sait que la Terre est ronde ou presque. Cependant il s’avère depuis toujours très pratique d’en faire une représentation plane, que ce soit sur du papier ou de nos jours sur un écran d’ordinateur. On appelle très souvent ces représentations planes de la Terre des “projections cartographiques” , terminologie associée à “carte” , voire à “plan cartésien” . Remarquons ici qu’elles ne sont pas toutes des projections au sens mathématique et géométrique du terme. Il existe de nombreuses représentations planes et nous nous proposons ici, non pas d’en faire un inventaire mais de présenter leurs caractéristiques, de voir comment on peut les classer et comment on les choisit selon leur utilisation. GÉODÉSIE MOTS-CLÉS Représentations planes, module linéaire, altération linéaire, conforme, équivalente, cylindrique, conique, indicatrice de Tissot Figure 1. Principe d’une représentation plane Figure 2. Abscisse curviligne sur l’ellipsoïde Revue XYZ • N° 156 – 3e trimestre 2018 37 q Ainsi on voit que pour la projection “plate carrée”(Figure 4), sur l’équateur l’indicatrice de Tissot est un cercle, puis en se déplaçant vers les pôles l’indi catrice de Tissot s’aplatit et s’élargit, il y a une dilatation des zones polaires. Cette projection n’est ni conforme, ni équivalente. Les images des parallèles étant à égale distance on dit qu’elle est équidistante. La projection Mercator est un exemple de projection conforme. L ’indicatrice de Tissot est un cercle quel que soit le lieu, et ce cercle devient de plus en plus grand quand on se rapproche des pôles. La déformation des longueurs est la même dans toutes les directions en un lieu donné mais son amplitude augmente avec la lati tude. Pour la projection de Mollweide (Figure 6) l’indicatrice de Tissot est une ellipse dont le grand axe est dirigé selon l’image du méridien. L ’ellipse s’aplatit en s‘approchant des pôles mais garde une aire constante. Cette projection est équivalente. Aucune représenta tion plane de l’ellipsoïde n’est à la fois conforme et équivalente. Par contre on peut comme dans le cas de la projec tion de Winkel-Tripel faire en sorte que les déformations soient minimisées, ici l’indicatrice est presque un cercle dont l’aire varie peu. Image du canevas Les méridiens et les parallèles qui sur la sphère ou sur l’ellipsoïde sont des cercles ou des ellipses peuvent être transformés par la représentation en toutes sortes de courbes. Il est habi tuel de procéder à une classification des représentations planes selon ces courbes de la manière suivante : Les représentations cylindriques : les images des parallèles sont des droites parallèles et celles des méridiens des droites parallèles perpendiculaires aux premières (Figure 4, 5, 9). Les représentations pour lesquelles m1 m2 = 1 en tout point sont dites équi valentes. Elles conservent les surfaces car la surface de l’ellipse pm1 m2 = p est égale à la surface du cercle de rayon 1. Les représentations qui ne sont ni conformes, ni équivalentes sont dites aphylactiques. Les figures 4, 5, 6 et 7 montrent des exemples de projections pour lesquelles on voit les images des méridiens et de parallèles et au croisement on a figuré les indicatrices de Tissot. Figure 4. Plate carrée : cylindrique équidistante Figure 5. Mercator : cylindrique conforme Figure 6. Mollweide : méri-cylindrique Figure 7. Winkel-Tripel Le module linéaire est donc une fonction de (λ, j) qui dépend de la position du point et de la direction dans laquelle on regarde la déformation. En un point de coordonnées (λ, j) varie entre deux valeurs : m1 < m < m2 La valeur maximale m2 peut être infinie ∞. On appelle altération linéaire la quantité e = m -1 exprimée souvent en mètres par kilomètres. On appelle isomètre une courbe telle qu’en tout point m = constante. Si m = 1 elle est dite automécoïque. Pour visualiser les déformations on utilise l’indicatrice de Tissot. On trace sur l’ellipsoïde un petit cercle de rayon 1 (l’unité importe peu), la transformée de ce cercle par la repré sentation plane est toujours une ellipse de demi-grand axe m2 et de demi-petit axe m1, c’est l’indicatrice de Tissot. Les représentations pour lesquelles m1 = m2 en tout point sont dites conformes, l’in dicatrice de Tissot est un cercle. Elles ont deux intérêts, le premier c’est que l’altération linéaire en un point est la même dans toutes les directions, et le deuxième les angles sont conservés dans la transformation. Figure 3. Abscisse curviligne sur le plan Figure 8. représentation cylindrique [5] Revue XYZ • N° 156 – 3e trimestre 2018 38 q Figure 13. Conique équivalente Les projections méri-coniques (ou pseudo-conique) : les images des parallèles sont des arcs de cercles concentriques, celles des méridiens sont des courbes quelconques passant par l’image du pôle. Les projections azimutales (cas parti culier de conique) : les images des parallèles sont des cercles concen triques, celles des méridiens sont des droites concourantes au centre des arcs de cercles qui est aussi l’image du pôle (nord ou sud) (Figure 15). Figure 14. Représentation azimutale [5] Figure 15. Azimutale équivalente Les projections poly-coniques : les images des parallèles sont des arcs de cercles non concentriques, dont le centre est situé sur une droite, image du méridien origine, et les images des autres méridiens sont des courbes quel conques (Figure 16) Par analogie, c’est comme si on enve loppait la sphère par un cylindre que l’on dépliait ensuite, mais attention la transformation n’est pas en général une projection géométrique. Figure 9. Cylindrique équivalente Les projections méri-cylindriques (ou pseudo-cylindriques) : les images des parallèles sont des droites parallèles, celles des méridiens sont des courbes (arc de cercle, arc de sinus (Figure 10), arc d’ellipse (Figure 6), etc.) Figure 10. Sanson : méri-cylindrique sinusoïdale Les projections coniques : les images des parallèles sont des arcs de cercles concentriques, celles des méridiens sont des droites uploads/Geographie/ xyz156-representations-planes.pdf