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Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d

Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d’exercices 12 1 SERIE D’EXERCICES N° 12 : MECANIQUE : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL Les grandeurs en caractère gras sont des grandeurs vectorielles. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen. Postulat dynamique : point matériel en équilibre. Exercice 1. On dispose de deux ressorts linéaires identiques de longueur au repos L . Chacun, soumis à un poids P0 , prend un allongement l0 , déterminé par leur raideur commune k . On suspend un poids P0 à l’un des ressorts et on tire horizontalement le poids à l’aide de l’autre ressort que l’on tire avec une force variable F . Le premier fait alors un angle α avec la verticale. Pour chaque valeur de α correspondant à une force F , le ressort (1) prend un allongement l1 et le ressort (2) un allongement l2 . Calculer les allongements l1 et l2 en fonction de α et l0 . O α A B P0 F Exercice 2. Un brin de caoutchouc de longueur 2L non tendu est fixé entre deux points A et B On admettra que son poids est négligeable et que le brin est horizontal. On accroche un poids P au milieu O de AB . Sachant que le caoutchouc tendu avec une force F s’allonge de l tel que F = k l , exprimer P en fonction de k , L et α . A O B α P Postulat dynamique : point matériel libre. Exercice 3. Une voiture, de masse m , roulant rectilignement à la vitesse v 0 = v0 i , coupe son moteur à t = 0 et n’est plus soumise, suivant i , qu’à une force de frottement proportionnelle à la vitesse F = - h v . 1. Ecrire la loi de variation de v en fonction du temps (on fera apparaître la constante de temps τ que l’on définira). 2. En déduire l’équation horaire du mouvement. Exercice 4. Un corps de masse m flotte sur un liquide de masse volumique ρ . Sa surface à la ligne de flottaison étant S , calculer la période des oscillations verticales du système en fonction de m , ρ , S et g intensité du champ de pesanteur. On admettra pour simplifier que la surface S reste constante de part et d’autre de la position d’équilibre, sur une longueur supérieure à l’amplitude des oscillations. On rappelle que la poussée d’Archimède Π Π est équivalente à une force unique, verticale, dirigée vers le haut, d’intensité égale au poids du fluide déplacée, s’appliquant en C , centre de poussée (on suppose ici C à la verticale du centre de gravité G ). Exercice 5. Une fusée balistique, assimilée à un point matériel M de masse m , est mise à feu à la surface de la Terre, avec une vitesse v 0 de valeur inférieure à la vitesse de satellisation sur une orbite circulaire, faisant un angle α avec l’horizontale (on fera une figure dans le plan de tir défini par ( g , v 0 ) ramené au trièdre (O, i , k ) où i est unitaire suivant l’horizontale et k unitaire suivant la verticale ascendante). Le champ de pesanteur g est supposé uniforme ( g = 10 m.s-2 ) . 1. On néglige en première approximation la résistance de l’air. a) Etablir l’équation de la trajectoire. b) Exprimer la portée OC puis la flèche AH (A point d’altitude maximale, H sa projection sur l’horizontale) en fonction de v0 , α et g . A.N. Calculer la portée maximale et la hauteur maximale alors atteinte si v0 = 1 km.s-1 . c) Ecrire l’équation vérifiée par l’angle de tir α pour que la trajectoire passe par un point B de l’espace de coordonnées (xB , zB ). A.N. Calculer α pour xB = 73,2 km et yB = 19 ,6 km si v0 a la valeur précédente. 2. On tient comte maintenant de la résistance de l’air, opposée à la vitesse de la fusée : f = -h v avec h constante positive. Etablir les équations paramétriques x (t) et y (t) du mouvement de M . Postulat dynamique : point matériel lié. Exercice 6. On considère un ressort de raideur k et de longueur au repos l0 , dont les extrémités sont reliées à un point fixe O et à un point matériel M de masse m . On suppose qu’il n’existe pas de frottement de glissement sur le plan incliné. Soit un axe Ox sur le plan incliné (voir la figure). 1. Déterminer l’abscisse xe du point M à l’équilibre en fonction de l0 , m , g , k et α . y O M (m) α Nathalie Van de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d’exercices 12 2 2. A partir de la position d’équilibre M est déplacé d’une distance d comptée algébriquement sur Ox et lâché sans vitesse initiale. Etablir l’équation horaire x (t) en fonction de d , k , m et xe . Exercice 7. 1. La figure 1 représente une portion de plan incliné sur l’horizontale d’un angle α . Un chariot de masse m est mobile sans frottement sur des rails posés parallèlement à une ligne de plus grande pente du plan. Sa position est repérée sur l’axe x’Ox par l’abscisse x de son centre d’inertie G qui est nulle à l’instant initial. On lance le chariot vers le haut à la vitesse v 0 . Pour quelle valeur de v0 , exprimée en fonction de g , a , α , la vitesse du chariot s’annule-t-elle au point A d’abscis se x = a ? 2. La figure 2 représente le même plan incliné muni d’un dispositif à ressort, poulie et fil, qui permet d’exercer sur le chariot une force de rappel Fx = - k x , k étant une constante. Le chariot est lancé vers le haut avec la vitesse v’0 , atteint le point B où sa vitesse s’annule et redescend. Comme précédemment, x = 0 à l’instant initial. Ecrire et intégrer l’équation différentielle du mouvement (on exprimera l’amplitude et la phase à l’origine en fonction de v’0 , k , m , g et α ). Pour quelle valeur de v’0 le point B est-il confondu avec le point A (on donnera v’0 en fonction de la pulsation propre ω0 , a et v0 ) ? x Figure 1 : x Figure 2 : α α x’ x’ Exercice 8. Une tige tourne dans le plan horizontal xOy autour de son extrémité O à la vitesse angulaire constante ω . Sur cette tige, un anneau M de masse m , peut glisser sans frottement. A t = 0 , l’anneau part de M0 ( OMO = a , θ0 = 0 ), sans vitesse initiale par rapport à la tige . 1. Déterminer la trajectoire de l’anneau en coordonnées polaires par rapport au repère xOy . 2. Déterminer la réaction de la tige sur l’anneau en fonction de a , ω , θ et g . Exercice 9. Un élastique E accroché en B passe en A dans un petit anneau et porte en son extrémité M une masse ponctuelle pesante m . Soit k la raideur de E , BA sa longueur au repos. M étant accroché, la position d’équilibre de M se trouve en O . On pose OA = a . 1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par r = OM . 2. Résoudre , les conditions initiales quelconques étant définies par : t = 0 , r =r0 , v = v 0 . z B A M (m) O y x Exercice 10. Un point matériel M , de masse m , relié à l’origine O par un fil inextensible et sans masse, décrit dans le sens positif un cercle vertical, de centre O , de rayon r . 1. Quelles sont les tensions TA et TA’ lorsque M passe en A avec la vitesse v A et en A’ avec la vitesse v A’ ? (on exprimera TA et TA’ en fonction de v A , vA’ , m , r et g intensité du champ de pesanteur). Les valeurs trouvées sont-elles toujours positives ? 2. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ que fait OM avec la verticale. Pour intégrer cette équation, multiplier chaque terme par d dt θ pour faire apparaître des dérivées connues, en déduire l’expression de la vitesse à l’instant t sachant qu’à l’instant initial θ = 0 et v = v0 (on exprimera v2 en fonction de v 0 , g , r et θ ). Calculer alors la tension du fil T en fonction de v0 , g , r et θ . 3. La vitesse initiale v0 étant donnée, on désigne par θv la valeur de θ qui annule l’expression de v et par θT celle qui annule l’expression de T . Exprimer cos θv uploads/Geographie/ tdmeca-3.pdf