BTS DOMOTIQUE Résumé « statistiques et probabilités » I Probabilités Soient A,

BTS DOMOTIQUE Résumé « statistiques et probabilités » I Probabilités Soient A, B et C trois événements, on a les propriétés suivantes : o P(∅) = 0 , P(Ω) = 1 et 0 ⩽P(A) ⩽1. o P(A) = 1 −P(A). o P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B) et P(A ∪B) = P(A) + P(B) si A et B sont disjoints. o PB(A) = P(A/B) = P(A ∩B) P(B) . o P(A ∩B) = P(B)PB(A) = P(A)PA(B) et P(A ∩B) = P(A) × P(B) si A et B sont indépendants. II Lois de probabilité Espérance : E(X) = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = n P i=1 pixi. E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2). Variance : V (X) = n P i=1 pi [ xi −E(X) ]2 = n P i=1 pix2 i −[E(X)]2 = E(X2) −E2(X). Écart-type : σ(X) = p V (X). σ(X1 + X2) = p σ2(X1) + σ2(X2). Loi Notation Probabilité Espérance Variance Loi de Bernoulli B(p) P(X = 1) = p ; P(X = 0) = q E(X) = p V (X) = pq Loi Binomiale B(n; p) P(X = k) = Ck n × pk × qn−k E(X) = np V (X) = npq Loi de Poisson P(λ) P(X = k) = e−λ λk k! E(X) = λ V (X) = λ Loi Normale N(m; σ) P(a ≤X ≤b) = 1 σ √ 2π Z b a e−1 2( x−m σ ) 2 dx E(X) = m V (X) = σ2 Centrée réduite N(0; 1) Π(t) = P(T ≤t) = R t −∞ 1 √ 2π e−1 2x2dx E(X) = 0 V (X) = 1 Si X suit la loi normale N(m; σ), alors T = X −m σ suit la loi normale centrée réduite N(0; 1). La variable aléatoire T possède les propriétés suivantes : o Pour tout t : P(T ≥t) = 1 −Π(t). o Pour tout t positif : Π(−t) = 1 −Π(t). o Pour tous a ≤b : P(a ≤T ≤b) = Π(b) −Π(a). o Pour tout t ≥0 : P(−t ≤T ≤t) = 2Π(t) −1. Π(t) t http://mathematiques.daval.free.fr -1- BTS DOMOTIQUE Résumé « statistiques et probabilités » III Approximation et échantillonnage Sous certaines conditions, on peut approcher la loi binomiale B(n, p) par : o la loi de poisson P(λ) où λ = np, o la loi normale N(m; σ) où m = np et σ = √npq. La loi d’échantillonnage de taille n de : o la moyenne Xn peut être approchée par la loi normale N  m, σ √n  . o la fréquence fn peut être approchée par la loi normale N  p; s p(1 −p) n  . IV Estimations Paramètre de la population totale à estimer Valeur du para- mètre dans l’échan- tillon de taille n Estimation ponc- tuelle pour la population totale Estimation par intervalle de confiance au niveau de confiance 2Π(t)−1 = 1−α pour la population totale Moyenne me m = me  me −t σ √n; me + t σ √n  Écart-type σe σ = σe r n n −1 Fréquence fe f = fe  fe −t s fe(1 −fe) n −1 ; fe + t s fe(1 −fe) n −1   V Tests d’hypothèse Construction du test de validité d’hypothèse : • Étape 1 : détermination de la variable aléatoire de décision et de ses paramètres, • Étape 2 : choix des deux hypothèses : l’hypothèse nulle Ho et l’hypothèse alternative Hl, • Étape 3 : l’hypothèse nulle étant considérée comme vraie et compte tenu de l’hypothèse alternative, déter- mination de la zone critique selon le niveau de risque α donné, • Étape 4 : rédaction d’une règle de décision. Utilisation du test d’hypothèse : • Étape 5 : calcul des caractéristiques d’un échantillon particulier puis application de la règle de décision. http://mathematiques.daval.free.fr -2- uploads/Geographie/ statistiques.pdf

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