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REGULAE ET MATHÉMATIQUES THEORIA - Segunda Época - Vol. IX Michel SERFATI * ABS

REGULAE ET MATHÉMATIQUES THEORIA - Segunda Época - Vol. IX Michel SERFATI * ABSTRACT L'histoire du texte des Règles pour la Direction de l'Esprit (Regulae) de Descartes est un peu singulière: non publié du vivant de Descartes, il n'a paru qu'en 1701, dans les Opera Posthuma d'Amsterdam. De façon plus significative, et contrairement aux autres traités cartésiens perdus, ce texte secret n'est jamais explicitement evoqué par Descartes, fût-ce au détour d'une correspondance. Par leur étroite dépendance vis à vis des mathématiques, les Regulae sont cependant un texte majeur, constitutives de la pensée de leur auteur dans ses années de jeunesse (1619-1628), et par là de toute la philosophie moderne. Descartes avait jugé le texte suffisamment important pour l'emmener à Stockholm, où il a été découvert àpres sa mort, dans ses papiers. Entre les mathématiques et les Regulae, ce texte "éclatant et obscur" (J.P. Weber), il est ces trois types principaux de rapports croisés que nous tâcherons d'analyser: historiquement d'abord, quelles furent la formation et l'expérience mathématique du jeune Descartes, qui constituèrent, à notre sens, l'armature conceptuelle du texte. Quelles sont ensuite les voies par lesquelles, dans les Regulae, Descartes a pu transmuer cette expérience mathématique première à la fois en une pratique, une méthode, une théorie de la connaissance, enfin en une épistémologie assez radicalement neuve. Enfin, et prenant Descartes au sérieux nous examinerons à l'occasion cette question: quel est le sort réservé, de nos jours, à cette épistémologie cartésienne, en particulier confrontée aux mathématiques contemporaines? Introduction Le texte des Regulae, de Descartes, a suscité chez les philosophes deux attitudes bien contraires: les uns, comme J. Hyppolite1, mettant l'accent sur l'immaturité, l'inachèvement, le caractère souvent anarchique et parfois contradictoire du texte, ont conclu à une forme de confusion première, l'état achevé de la pensée du philosophe devant être trouvé dans une différenciation ultérieure: dans les Méditations quant à la Métaphysique, ou dans la "Géométrie", quant aux mathématiques. Mais le texte a aussi provoqué, avec une sorte de véritable enthousiasme, une thèse de vingt ans (J.P. Weber), la constitution d'un index selon les méthodes 1994, Nº 21, 61-108 Michel SERFATI modernes, des traductions neuves, récentes, selon le lexique cartésien, et avec un appareil critique détaillé, tout comme pour le Discours (J.L. Marion2). D'autre part, à notre sens, le texte rencontre chez les mathématiciens contemporains une sorte d'approbation immédiate, doublé d'un sentiment de familiarité et de proximité avec des méthodes mathématiques aujourd'hui en vigueur. Notons à ce sujet -le fait est si rare- l'intérêt que lui portèrent dans leurs écrits d'éminents mathématiciens, tels Lebesgue3 et Hadamard4. L'histoire du texte des Regulae est un peu singulière: non publié du vivant de Descartes, il n'a paru qu'en 1701, dans les Opera Posthuma d'Amsterdam. De façon plus significative encore et contrairement aux autres traités perdus (traité d'Algèbre de 1619, ou de métaphysique de 1629), ce texte secret n'est jamais explicitement évoqué par Descartes, fût-ce au détour d' une correspondance. Il l'avait néanmoins jugé suffisamment important pour l'emmener à Stockholm, où il a été découvert après sa mort, dans ses papiers, en sorte que le manuscrit a été néanmoins diffusé entre 1650 et 1701 et connu par exemple, des auteurs de la Logique de Port-Royal5. Entre les mathématiques et les Regulae, ce texte "éclatant et obscur"6, il est ces trois types principaux de rapports croisés que nous tâcherons d'analyser: historiquement d'abord quelles furent la formation et l'expérience mathématique du jeune Descartes qui constituèrent, à notre sens, l'armature conceptuelle du texte. Quelles sont ensuite les voies par lesquelles, dans les Regulae, Descartes a pu transmuer cette expérience mathématique première à la fois en une pratique, une méthode, une théorie de la connaissance, bref en une épistémologie assez radicalement neuve. Enfin, et prenant Descartes au sérieux nous examinerons à l'occasion cette question: quel est le sort réservé, de nos jours à cette épistémologie cartésienne, en particulier confrontée aux mathématiques contemporaines? 1. Bref historique et questions de datation 1.1. Il faut d'abord préalablement évoquer brièvement la question de la formation mathématique de Descartes. A la Flèche à l'époque de Descartes, et même après la réforme mise en place par Clavius (la Ratio), les mathématiques. n'étaient enseignées que de façon relativement annexe, et en seconde année seulement. Il apparaît que Descartes7 a largement travaillé les Mathématiques en dehors des cours. Nous ferons l'hypothèse naturelle, confirmée par Descartes lui-même8, qu'à La Flèche, il a lu une bonne partie des ouvrages de Clavius: Algebra, Geometrica Practica, Arithmetica Practica, Prolegomaena (aux Eléments d'Euclide), mais qu'il ne connaît ni Cardan,ni Viète. L'Algèbre de Clavius, un épais traité, touffu, même s'il est écrit en un latin remarquablement clair, expose en une multitude d'exemples un peu trop voisins, des problèmes algébriques en notations cossiques. Il est indispensable à notre propos de relever qu'il ignore les équations du troisième degré. L'inventaire des équations cubiques et les multiples conclusions de Cardan et Ferrari dans l'Ars Magna dataient cependant de 1545, et l'Algebra de Bombelli avait paru en 1572. Clavius s'en explique, dans un passage historico-épistémologique un peu embarrassé: il se limite en fait aux équations du second degré et à celles qui s'y ramènent par changement de variable simple9. A sa sortie de La Flèche, Descartes passe une licence en droit, puis part pour la Hollande s'enrôler sous les ordres de Maurice de Nassau. En 1618, il est donc à Breda. 2 REGULAE ET MATHÉMATIQUES 1.2. Descartes rencontre Beeckmann à Breda en Novembre 1618. Le jeune savant hollandais, de huit ans plus âgé que Descartes, était passionné de physico-mathématique, et il semble que Descartes qui trouva d'abord en Beeckmann une figure protectrice, lui fut aussi reconnaissant de lui ouvrir sur la Science Universelle un autre possible accès que les théories de Lulle. Le 26 Mars 1619, au printemps suivant, Descartes adresse à Beeckmann10 une lettre importante, l'un des premiers textes cartésiens scientifiques connus, et qui nous découvre des constantes de sa pensée scientifique: la première évocation des compas cartésiens (susceptibles, selon Descartes, et dès cette époque, de résoudre un grand nombre de questions mathématiques), la mise en regard sur trois niveaux d'une première comparaison entre nombres et courbes: à trois types de nombres: les rationnels, les sourds, les imaginaires Descartes associe respectivement en effet, point par point, autant de types de courbes (les géométriques, les extensions cartésiennes des géométriques selon les compas cartésiens; enfin les mécaniques). Ces points que nous retrouverons dans les textes mathématiques ultérieurs de Descartes, seront étudiés ci-dessous. La lettre ne contient aucune preuve. Cependant, ces questions énumérées, Descartes, tout à son enthousiasme, conclut qu' "il ne lui restait presque plus rien à trouver en Géométrie" (ce jeune homme de 23 ans n'a cependant encore presque rien publié), aussi qu'il détient les éléments d'une "Science complètement neuve" (scientia penitus nova), enfin qu'il a trouvé "une lumière qui lui permette de dissiper les ténèbres les plus épaisses". 1.3. A l'automne de cette même année 1619, Descartes est en Souabe, près de la ville d'Ulm: "J'étais en Allemagne où l'occasion des guerres qui n'y sont pas encore finies m'avait appelé, et comme je revenais du couronnement de l'empereur vers l'armée, le commencement de l'hiver m'arrêta en un quartier (...) où je demeurais tout le jour, enfermé seul dans un poêle"11. Ainsi Descartes nous introduit-il à cette nuit -du 10 au 11 Novembre 1619- où il fit trois songes que le rêveur lui-même n'a cessé jusqu'à la fin de sa vie -il a quarante ans quand il publie le Discours de la Méthode- de déclarer décisifs pour la constitution de sa pensée, de sa Méthode et de sa philosophie. Nous reconnaîtrons donc ici, avec la plupart des commentateurs un moment de fracture et distinguerons désormais deux époques: avant et après le "poêle". 1.4. Les Cogitationes Privatae de 1619-1621, en provenance du Premier Registre de Descartes12, sont un texte de jeunesse, sorte de brouillon rassemblant divers manuscrits13, et dont la rédaction est contemporaine de la période des rêves (avant et après: 1619-1620). Ils exposent entre autres choses une partie mathématique plutôt pauvre. Rien ne laisse ici présager l'extraordinaire aisance de la Géométrie. Sur le plan du contenu, on observe: - un traitement rudimentaire des équations du 3ème degré. Descartes, qui n'a certainement pas lu Cardan à cette époque, s'essaie par changement de variable (translation) à en faire disparaître le terme carré. Cette méthode, que tout débutant a probablement essayé, ne conduit à la résolution de l'équation que dans des cas tout à fait particuliers: Descartes s'intéresse d'abord à l'un d'eux14, qu'il résout, 3 Michel SERFATI après avoir vainement tenté d'y ramener un autre, au prix d'une erreur de calcul, qui sous-tend une erreur conceptuelle15. - le premier véritable développement des compas cartésiens à équerres glissantes, annoncés dans la lettre à Beeckmann (désormais dénommés compas cartésiens). A ces compas, qui nous paraissent une pièce maîtresse de la pensée de Descartes, nous avons consacré ailleurs une étude16. Cette suite d'équerres réalise en effet un ensemble de mouvements solidaires, tous rigoureusement subordonnés les uns aux autres, en sorte que le mouvement de chaque équerre, commandé par celle qui la précède, gouverne rigoureusement uploads/Geographie/ regulae-et-mathematiques-pdf.pdf