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http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Variable aléatoire page 1 / 8 PRO

http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Variable aléatoire page 1 / 8 PROBABILITÉS Variable aléatoire I Langage des événements Exemple Lors d'un oral de mathématiques, quatre questions sont proposées : une question de probabilités (P) ; une question de statistiques (S) ; une question de géométrie (G) et une question d'algèbre (A). Chacune de ces questions est écrite sur une feuille pliée et le candidat choisit une des quatre feuilles. L'ensemble des résultats possibles (éventualités) peut être noté : Ω = {P ; S ; G ; A}. «obtenir la question de probabilités» correspond à { P }. «obtenir une question qui n'est pas de la géométrie » correspond à { P ; S ; A }. «obtenir une question de géographie» correspond à ∅. «obtenir une question qui n'est pas de la littérature» correspond à { P ; S ; G ; A } = Ω. Définition Soit Ω l'ensemble des éventualités (résultats possibles) d'une expérience aléatoire (Ω est appelé univers). ● On appelle événement, toute partie de Ω. ● ∅ est une partie de Ω, c'est un événement, appelé événement impossible. ● Ω est une partie de Ω, c'est un événement, appelé événement certain. Exemple Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte. On tire une boule de l'urne et on note sa couleur. L'ensemble des éventualités (univers) est Ω = {B ; R ; V}. Il y a huit événements : ∅ ; {B} ; {R} ; {V} ; {B ; R} ; {B ; V} ; {R ; V} ; Ω. Définition ● La réunion de deux événements A et B est un événement A∪B, appelé aussi événement "A ou B". ● L'intersection de deux événements A et B est un événement A∩B, appelé aussi événement "A et B". ● Lorsque deux événements A et B ont une intersection vide (A∩B = ∅), on dit que ces événements sont disjoints ou incompatibles. ● On appelle événement contraire d'un événement A et on note  A l'ensemble de toutes les éventualités qui ne sont pas dans A. (  A est la partie complémentaire de A dans Ω). Remarque Un événement et son contraire sont incompatibles. Exercice 01 (voir réponses et correction) On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure. 1°) Définir l'ensemble des éventualités Ω. 2°) Écrire sous forme de partie de Ω les événements : A : «obtenir un numéro inférieur ou égal à 2», B : «obtenir un numéro impair», C : «obtenir un numéro strictement supérieur à 4». 3°) Écrire sous forme de partie de Ω les événements : A∪B ; A∩B ; A∪C ; A∩C ; B∪C ; B∩C ;  A ;  A ∪C ;  A ∩C . Donner pour chacun d'eux une phrase qui le caractérise. 4°) Parmi les événements utilisés précédemment, citer deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires l'un de l'autre. http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Variable aléatoire page 2 / 8 II Loi de probabilité Exemple On dispose de deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L'un est rouge, l'autre bleu. On s'intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure lorsqu'on jette un de ces dés. En faisant un grand nombre de tirages on a obtenu les résultats suivants : Pour le dé rouge : Numéro xi 1 2 3 4 5 6 Fréquence fi 0,1633 0,1663 0,1668 0,1678 0,1686 0,1672 Pour le dé bleu : Numéro xi 1 2 3 4 5 6 Fréquence fi 0,0706 0,1522 0,1496 0,1685 0,1450 0,3141 La donnée de la liste des fréquences constitue ce que l'on appelle une distribution de fréquences. Une distribution de fréquences a les propriétés suivantes (valables quelle que soit l'expérience envisagée) : ● Pour tout i on a fi ³ 0 ● La somme des fi est 1 (et par conséquent pour tout i fi £ 1) Remarques ● En observant chacune des distributions de fréquences de l'exemple précédent, on peut supposer que le dé bleu pour lequel de fortes variations existent entre les différentes faces n'est pas équilibré, alors que le dé rouge pour lequel la fluctuation est faible est un dé équilibré. ● Il est bien évident que la répartition des fréquences n'est pas stable (c'est ce que l'on appelle la fluctuation d'échantillonnage). Si l'on fait deux séries de 1000 lancers avec le même dé, on n'obtiendra pas exactement les mêmes résultats. Pour modéliser une expérience aléatoire, on n'utilisera pas une distribution de fréquences qui est expérimentale, mais une distribution théorique que l'on appelera loi de probabilité. Le choix de ce modèle théorique est évidemment très important pour la validité des résultats. Définition On considère Ω = {ω1 ; ω2 ;...; ωn}. On définit une loi de probabilité p sur Ω en associant à chaque éventualité ωi un nombre réel p(ωi) = pi tel que : • pour tout i ∈ {1 ; 2 ; ⋯ ; n} 0 £ pi £ 1 • p1 + p2 + ⋯ + pn = 1 On dit que pi est la probabilité de l'éventualité ωi. Pour tout événement A on appelle probabilité de A la somme des probabilités des éventualités de A. Si A = {a1 ; a2 ; ⋯ ; ak}, on a : p(A) = p(a1) + p(a2) + ⋯ + p(ak). On a alors p(Ω) = 1 et on pose d'autre part p(∅) = 0. Exemple 1°) Pour le dé rouge de l'exemple précédent, qui semble équilibré, on supposera que les différentes faces ont la même probabilité d'apparition (on dit que les différentes faces sont équiprobables). On utilisera alors la loi de probabilité définie par : Numéro xi 1 2 3 4 5 6 Probabilité pi 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 La probabilité de l'événement A : « obtenir un numéro pair » est alors p(A) = p2 + p4 + p6 = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2 = 0,50 2°) Pour le dé bleu, qui ne semble pas équilibré, on peut utiliser la loi de probabilité définie par : Numéro xi 1 2 3 4 5 6 Probabilité pi 0,07 0,15 0,15 0,17 0,15 0,31 La probabilité de l'événement A : « obtenir un numéro pair » est alors p(A) = p2 + p4 + p6 = 0,15 + 0,17 + 0,31 = 0,63 http://xmaths.free.fr 1ère S − Probabilités − Variable aléatoire page 3 / 8 Remarque Un important théorème de mathématiques, appelé loi des grands nombres peut s'exprimer ainsi : Dans le monde théorique défini par une loi de probabilité P sur un ensemble fini, les fréquences des éléments de cet ensemble dans une suite de n expériences identiques et indépendantes tendent vers leur probabilité quand n augmente indéfiniment. Par exemple : ● si on jette un très grand nombre de fois un dé parfaitement équilibré, la fréquence de chacune des faces tend vers sa probabilité c'est à dire vers 1 6 . ● si on jette un très grand nombre de fois une pièce parfaitement équilibrée, la fréquence de chacune des faces tend vers sa probabilité c'est à dire vers 1 2 . Exemple On simule avec un ordinateur ou avec une calculatrice le lancer d'un dé équilibré et on s'intéresse à l'apparition de la face 5. Cette simulation peut être faite avec l'algorithme ci-contre réalisé avec Algobox. Tous les 100 lancers est affiché le nombre total de lancers et la fréquence de l'apparition de la face 5. On peut noter que la suite des fréquences de la face 5 pour 100, 200 , 300 , ... , 10000 lancers semble tendre vers 1 6 c'est-à-dire environ 0,166. Cas particulier Lorsque les éventualités ont toutes la même probabilité, on dit qu'elles sont équiprobables ou que la loi de probabilité est uniforme. Si Ω = {ω1 ; ω2 ; ⋯ ; ωn}, la probabilité de chaque éventualité est p0 = 1 card(Ω) = 1 n . Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est le nombre d'éléments de A divisé par le nombre d'éléments de Ω, c'est-à-dire p(A) = card(A) card(Ω) .     On dit aussi p(A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles Remarque Le cardinal d'un ensemble fini est le nombre d'éléments de cet ensemble. ● Si A et B sont deux ensembles finis disjoints (A∩B = ∅) card(A∪B) = card(A) + card(B) ● Si A et B sont deux ensembles finis quelconques card(A∪B) = card(A) + card(B) - card(A∩B) Propriétés (voir démonstration 01) ● Pour tout événement A, on a : p(A) ∈ [0 ; 1]. ●  A étant le contraire de A, on a : p (  A ) = 1 - p(A) . ● Si A et B sont deux événements quelconques, on a : p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) Remarque Si A et B sont deux événements incompatibles, on a A∩B = ∅, donc p(A∩B) uploads/Geographie/ probabilite 1 .pdf