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LIVRE DU PROFESSEUR COLLECTION ODYSSÉE MATHÉMATIQUES 2de Livre du professeur Pr

LIVRE DU PROFESSEUR COLLECTION ODYSSÉE MATHÉMATIQUES 2de Livre du professeur Programme 2009 Sous la direction de Éric SIGWARD IA-IPR de mathématiques de l’académie de Strasbourg Auteurs François BRISOUX Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirchleger de Munster Christian BRUCKER Professeur de mathématiques au lycée Théodore Deck de Guebwiller Yvan MONKA Professeur de mathématiques au collège Albert Camus de Soufﬂ enheim Éric SIGWARD Suivi éditorial : Jean-Marc Cheminée Maquette : Nicolas Balbo Mise en page : Catherine Vielcanet Infographies : Domino HATIER, PARIS, 2010 ISBN 978-2-218-94427-7 Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation préalable, est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf. : loi du 11 mars 1957, alinéas 2 et 3 de l’article 41. Une représentation ou reproduction sans autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’exploitation du droit de Copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris) constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code Pénal. 3 Introduction ................................................................................................................................. 5 Corrigés des activités, TP et exercices .................................................................. 9 PARTIE A Fonctions ............................................................................................................... 11 chapitre 1. Calcul algébrique ............................................................................................... 13 chapitre 2. Généralités sur les fonctions ......................................................................... 23 chapitre 3. Fonctions de référence .................................................................................... 37 chapitre 4. Fonctions du second degré et homographiques .................................... 57 chapitre 5. Équations et inéquations ................................................................................ 77 PARTIE B Géométrie ............................................................................................................. 91 chapitre 6. Vecteurs et repères ........................................................................................... 93 chapitre 7. Équations de droites et systèmes ............................................................... 109 chapitre 8. Trigonométrie .................................................................................................... 123 chapitre 9. Géométrie dans l’espace .............................................................................. 137 PARTIE C Statistiques et probabilités .................................................................... 151 chapitre 10. Statistiques et échantillonnage ................................................................. 153 chapitre 11. Probabilités ....................................................................................................... 171 S O M M A I R E 5 INTRODUCTION 7 Le manuel reprend les trois parties du programme de la classe de seconde : les fonctions, la géométrie et les statistiques et probabilités. Dans chacune de ces parties, il s’agit de former les élèves à la démarche scientifique afin de les rendre capables de conduire un raisonne- ment. Le programme de Seconde peut être abordé selon plusieurs angles, mais il ne faudrait surtout pas le concevoir comme une succession de chapitres cloisonnés. Il conviendra donc de concevoir, dès le début de l’année, une progression alternant les différentes notions à traiter, de telle sorte que les concepts abordés soient repris tout au long de l’année. Vous retrouverez d’ailleurs dans le manuel notre volonté de varier au maximum les situations problèmes au sein de chaque chapitre, afin de réinvestir les différents thèmes, ainsi que les notions du collège comme le calcul algébrique et la géométrie plane. Le premier chapitre, « Calcul algébrique », doit vous permettre de proposer, tout au long de l’année, des exercices, des activités, des problèmes, ou des travaux pratiques en salle informatique sur le thème du calcul ou de la nature des nombres. Il ne saurait constituer un chapitre à traiter dans sa globalité et de façon linéaire. Chaque chapitre de ce manuel propose des travaux pratiques que nous avons choisis les plus diversifiés possibles. Ils sont classés en trois catégories : • les activités utilisant l’outil informatique ou la calculatrice ; • les activités qui mettent en œuvre une démarche algorithmique ; • les problèmes plus ouverts qui exigent davantage d’initiative de la part des élèves. Dans chacun de ces problèmes, les élèves auront l’occasion de chercher, d’appliquer des techniques, d’effectuer des essais, de conjecturer avec les TICE puis d’élaborer des démons- trations. L’utilisation des TICE est tout à fait adaptée à l’acquisition de nombreuses notions du programme de Seconde. Il s’agit d’exploiter toutes les possibilités offertes afin d’enrichir l’apprentissage et les méthodes d’investigation. L’outil informatique permet en effet d’ob- tenir rapidement une représentation concrète du problème étudié. Des modifications des configurations en jeu peuvent mettre en évidence les propriétés à démontrer et toute l’atten- tion peut alors se porter sur la démonstration elle-même. Les problèmes ouverts proposés dans ce manuel ne font pas appel directement aux TICE. Nous proposons cependant dans certains cas soit une illustration, soit une vérification du résultat obtenu à l’aide de la calcu- latrice ou d’un logiciel adapté à la situation étudiée. Il importe que la diversité de ces activités se retrouve aussi dans la nature des travaux proposés aux élèves : des travaux dirigés en groupe, des travaux en autonomie, des activités en salle informatique ou des devoirs personnels réalisés à la maison. Des commentaires dans ce sens aideront les professeurs dans leur choix. Nous avons essayé de proposer, au sein de chaque chapitre, des problèmes de difficultés progressives, en particulier dans le domaine de l’algorithmique. À l’issue du collège, les élèves ont déjà acquis une certaine expérience avec le tableur et un logiciel de géométrie dynamique. L’algorithmique, et plus particulièrement la programmation dans un certain langage, est quant à elle une activité nouvelle pour eux et qui ne doit pas faire l’objet d’un cours à proprement parler. Les activités proposées sur ce thème peuvent néanmoins être données à tout moment de l’année, quelle que soit la progression choisie par le professeur pour aborder les principaux éléments de l’algorithmique. 8 Nous n’avons privilégié aucune syntaxe particulière, ce qui vous permet d’utiliser ce guide avec ses fichiers quel que soit le matériel et les logiciels utilisés dans votre établissement. La plupart des travaux pratiques peuvent cependant être réalisées assez simplement à l’aide d’une calculatrice. Ce qui permet une très large utilisation de ce guide. Vous trouverez dans ce livre du professeur des commentaires, des éléments de correc- tion, ainsi que des indications sur la mise en œuvre des travaux pratiques avec les élèves. Un nombre important de ces activités peuvent être réalisées avec l’outil informatique. En complément, vous trouverez des fichiers sur le CD d’accompagnement, sous de nombreuses versions : • Excel et OpenOffice pour les fichiers tableurs ; • Casio et Texas pour les tracés et la programmation à l’aide de la calculatrice ; • GeoGebra, Cabri, TI Nspire pour les exercices de géométrie plane ; • Cabri3D et Geospace pour les exercices de géométrie dans l’espace ; • AlgoBox, Python, Scilab et Xcas pour les programmes qui illustrent les algorithmes ; • Xcas, TI Nspire pour le calcul formel. Ces fichiers vous permettront d’une part de visualiser les résultats demandés, de tester les algorithmes ou les figures dynamiques, mais également d’illustrer vos explications lors de synthèses collectives avec les élèves. Certains de ces fichiers sont à la disposition des élèves sur le site compagnon, intégralement ou partiellement complétés, plus particulièrement lorsque le problème consiste soit à modifier, compléter ou corriger un algorithme, soit à réaliser des conjectures sur une configuration géométrique relativement complexe, ou bien encore à effectuer des simulations sur une feuille de calcul d’un tableur. Ils serviront ainsi de base de travail pour une activité en autonomie ou pour un devoir à réaliser à la maison. Nous espérons que ce livre répondra à vos attentes et qu’il vous apportera des pistes intéres- santes pour une présentation efficace du programme de Seconde. Les auteurs. 9 CORRIGÉS DES ACTIVITÉS, TP ET EXERCICES 11 PARTIE A FON C T I ON S Corrigé du QCM Je teste mes acquis sur les fonctions 1 C 2 D 3 B et D 4 D 5 A, C et D 6 D 7 C 8 B 9 C et D 10 A 11 C 12 1. Calcul algébrique • 13 1. Calcul algébrique Objectifs et pré-requis L’objectif de ce chapitre est de réinvestir les calculs algébriques élémentaires étudiés dans les classes de collège. Le professeur pourra donc s’y référer tout au long de l’année en cas de besoin. L’étude systématique des ensembles de nombres ne figure plus telle quelle dans les nouveaux programmes de Seconde. Il nous a semblé cependant pertinent de définir succinctement les nombres que les élèves ont déjà rencontrés et qu’ils manipulent dans les activités mathématiques. On trouvera également dans ce chapitre l’occasion de proposer aux élèves des activités mettant en œuvre des démarches algorithmiques. Extrait du programme (Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009) : Contenus Capacités attendues Expressions algébriques Transformations d’expressions algébriques en vue d’une résolution de problème. • Associer à un problème une expression algébrique. • Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. • Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples. Corrigé de la question d’ouverture du chapitre ▶ L’action permettant de transformer un produit de facteurs en une somme de termes est le dévelop- pement de l’expression. L’action permettant de transformer une somme de termes en un produit de facteurs est la factorisa- tion de l’expression. Corrigés des activités 1 Reconnaître la forme d’une expression algébrique ● 1 a. somme b. différence c. produit d. produit e. quotient f. différence g. produit h. différence i. différence ● 2 A : 2 B : 3 C : 1 D : 5 E : 4 14 • 1. Calcul algébrique 2 Différentes écritures d’un même nombre ● 1 a. Ces nombres sont tous égaux à 2,25. b. 2,25 est un nombre uploads/Geographie/ odyssee-2de-livre-du-professeur-programme-2009.pdf