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Une exposition scientifique réalisée en 2016 par le Centre de Vulgarisation de

Une exposition scientifique réalisée en 2016 par le Centre de Vulgarisation de la Connaissance, service de la Faculté des Sciences de l'Université Paris-Sud soutenu par le CNRS. Rédaction : Sébastien DESCOTES-GENON, Nicolas GRANER, Maxime INGREMEAU, Séverine MARTRENCHARD. Conception graphique et illustration : Anne VANBIERVLIET. www.cvc.u-psud.fr C e n t r e d e V u l g a r i s a t i o n d e l a C o n n a i s s a n c e P ourquoi est-il si difficile de prévoir le temps qu'il fera dans une semaine ? Peut-on faire confiance aux sondages ? Comment « entendre » la forme d'un instrument de musique ? Les mathématiciens aujourd'hui s'intéressent à bien d'autres objets que les nombres et les figures géométriques. Leurs recherches abordent des questions variées, des plus abstraites aux plus proches de notre quotidien, certaines déjà bien comprises, d'autres restant encore à résoudre. Au fil des 26 lettres de l'alphabet, découvrez, en une langue simple et accessible, quelques thèmes de la recherche actuelle en mathématiques. Ce modèle est couramment utilisé par les fonds d’investissements ; pourtant, le modèle de Black-Scholes sous- estime la probabilité d’événements extrêmes, comme les krachs boursiers. La théorie du chaos modélise souvent mieux ces phénomènes. Mon entreprise de bonbons aura besoin de chocolat dans 6 mois. Comment être sûr de ne pas le payer trop cher ? Si j’achète mon chocolat maintenant mais que le prix du chocolat diminue ensuite, j’aurai perdu de l’argent. Mais si j’attends pour acheter mon chocolat mais que son prix augmente beaucoup, j’aurai aussi perdu. Que faire ? L’évolution du prix d’une matière première ou d’une action est un processus très complexe. Il est donc impossible de prédire précisément la valeur du chocolat dans 6 mois. Le modèle de Black-Scholes a pour hypothèse que le prix du chocolat évolue au cours du temps de manière continue et aléatoire, et que je peux investir mon argent à la banque à taux fixe. On en déduit une stratégie optimale dans laquelle on achète ou on vend du chocolat quotidiennement, selon sa valeur du moment. À condition de ne pas manger tout le chocolat ! Affaires www.cvc.u-psud.fr C e n t r e d e V u l g a r i s a t i o n d e l a C o n n a i s s a n c e 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 2 Les Maths de A à Z Comment mesurer la distance précise qui sépare Brest de Douarnenez en longeant la mer ? Selon que vous utiliserez une carte de France, une carte de Bretagne, une carte du Finistère... ou un podomètre, le résultat sera différent. La distance obtenue augmente avec le niveau de précision : la ligne de côte se compose de renfoncements, qui eux-mêmes contiennent des renfoncements plus petits, invisibles sur la carte à grande échelle, qui eux-mêmes... Pour les mathématiciens, le littoral est un objet fractal, c’est- à-dire qu’on retrouve des détails similaires sur un grand éventail d’échelles. Une telle courbe ne peut être « mise en équation » de façon classique alors que la modélisation sous forme de fractale y parvient, comme pour de très nombreuses autres courbes ou surfaces : la structure d’une fougère, d’une plume d’oiseau, la foudre... mais aussi l’évolution de la démographie. Bretagne Les objets fractals naturels ne reproduisent pas indéfiniment le même motif à toutes les échelles mais les mathématiciens peuvent concevoir des objets où c’est le cas grâce à des fonctions mathématiques ou à des règles de construction géométriques. www.cvc.u-psud.fr C e n t r e d e V u l g a r i s a t i o n d e l a C o n n a i s s a n c e 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 2 Les Maths de A à Z La démonstration du « théorème des quatre couleurs », en 1976, est la première preuve mathématique publiée dont certaines étapes ont nécessité l’aide d’un ordinateur. Certains mathématiciens considèrent cette démonstration comme incomplète car il n’est pas formellement prouvé que le programme informatique utilisé ne comportait pas d’erreurs. Vous voulez colorier les pays sur une carte sans que deux pays qui se touchent soient de la même couleur ? Quatre crayons suffiront, quelle que soit la carte. Pour étudier cette question, on peut simplifier la carte en prenant seulement un point dans chaque pays et en reliant par une ligne les points dont les pays se touchent. Le schéma obtenu est un graphe, un outil mathématique utilisé dans de nombreux domaines. Par exemple, la répartition d’animaux sauvages dans des enclos en séparant les espèces incompatibles peut aussi être vue comme un problème de coloriage de graphe. On modélise par des graphes toutes sortes de réseaux (électrique, routier, téléphonique...) pour résoudre des problèmes comme : trouver le chemin optimal entre deux points, ou identifier les points critiques où une panne aurait le plus de conséquences. Coloriage www.cvc.u-psud.fr C e n t r e d e V u l g a r i s a t i o n d e l a C o n n a i s s a n c e 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 2 Les Maths de A à Z La fiabilité d’un sondage ne dépend pas de la population totale : interroger 1000 personnes pour l’élection présidentielle sera aussi fiable au Brésil qu’en Islande. En revanche, on peut améliorer la fiabilité d’un sondage en récoltant davantage de données. Données D'après le dernier sondage publié, à l'élection présidentielle de 2027, Céline recueillera 57 % des voix, et Damien 43 %. Céline est-elle certaine d'être élue ? Quand on réalise un sondage, on ne demande évidemment pas son avis à toute la population, mais seulement à un petit nombre d’individus. Ici, parmi 1000 sondés, 570 préfèrent Céline, et 430 Damien. Il est donc parfois possible de se tromper : peut-être que les 1000 personnes ont été très mal choisies, et que le reste de la population préfère Damien ! Toutefois, ceci est très improbable : on peut calculer que, si les électeurs ne changent pas d’avis, Céline obtiendra entre 53 % et 60 % des voix avec une probabilité de 95 %. Les sondages peuvent avoir tort, mais les statistiques permettent de calculer la probabilité qu’un sondage se trompe. Une information qu’on trouve trop rarement dans les médias ! www.cvc.u-psud.fr C e n t r e d e V u l g a r i s a t i o n d e l a C o n n a i s s a n c e 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 2 Les Maths de A à Z Ensemble Dans le village d’Absurdeville, la loi dit à l’unique barbier qu’il doit raser tous les hommes ne se rasant pas eux-mêmes, et eux seulement. Et le barbier ? Il sera toujours hors-la-loi ! La plupart des mathématiciens choisissent de voir tous les objets mathématiques (nombres, figures...) comme des ensembles. Et pour éviter les paradoxes, tous ces ensembles sont définis non à partir d’une propriété générale, mais à partir d’une construction explicite. S’il se rase lui-même, il aura rasé quelqu’un qui se rase lui-même ! Et s’il ne se rase pas lui-même, il n’aura pas fait son devoir de raser ceux qui ne se rasent pas eux- mêmes. Ainsi, certaines lois simples peuvent contenir un paradoxe caché. C’est particulièrement gênant pour les mathématiciens intéressés par les ensembles. On a longtemps pensé qu’on pouvait définir un ensemble en énonçant la propriété commune de tous ses éléments. Par exemple, l’ensemble des boulangers d’Absurdeville, ou bien l’ensemble des nombres pairs. Toutefois, on peut aboutir ainsi à des paradoxes : ainsi, l’ensemble des ensembles ne se contenant pas eux-mêmes est tout aussi paradoxal que notre barbier... www.cvc.u-psud.fr C e n t r e d e V u l g a r i s a t i o n d e l a C o n n a i s s a n c e 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 2 Les Maths de A à Z Andrew Wiles propose une première preuve en 1993. Mais plusieurs mathématiciens s’aperçoivent d’une erreur dans une partie essentielle de la démonstration. Il faudra à Wiles un an et l’aide d’un collègue, Richard Taylor, pour corriger la démonstration... Fermat Comment affoler les mathématiciens ? Griffonnez un théorème dans un livre... sans écrire la preuve, « faute de place » ! Vers 1637, Pierre de Fermat écrit ainsi qu’il n’existe aucune solution à l’équation an + bn = cn avec a, b, c entiers et n valant 3 ou plus. Au fil des siècles, les mathématiciens prouvent des cas particuliers de cette conjecture. Finalement, Andrew Wiles imagine une preuve s’appuyant sur deux pans entièrement différents uploads/Geographie/ maths-de-a-a-z-pdf.pdf