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 Radhouane Masmoudi Département de génie civil Faculté de génie GCI 140 - MATH

 Radhouane Masmoudi Département de génie civil Faculté de génie GCI 140 - MATHÉMATIQUES II ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES La résolution des équations différentielles: un outil essentiel pour des études en génie. ࡹࢅ ሷ൅࡯ࢅ ሶ൅ࡷࢅൌࡲሺࢀሻ Radhouane Masmoudi, ing., Ph.D. Professeur Titulaire Département de génie civil Note: Seuls les étudiants inscrits au cours GCI-140 de l’Université de Sherbrooke sont autorisés à imprimer une copie de ce document. TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I - INTRODUCTION ................................................................................................................ 1 1.1 CONSTRUCTION D’UN MODÈLE MATHÉMATIQUE ................................................................ 4 1.2 DÉFINITIONS ET CLASSIFICATION DES ÉQUATION DIFFÉRENTIELLES ........................... 7 1.2.1 Systèmes d’équations différentielles ............................................................................................. 7 1.2.2 Équations différentielles linéaires et non-linéaires ........................................................................... 7 1.3 EXERCICES ............................................................................................................................................ 9 CHAPITRE II – ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE UN ...................................................... 13 2.1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET FACTEUR INTÉGRANT .............................. 13 2.1.1 Exercices - Série 1 ...................................................................................................................... 20 2.2 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES À VARIABLES SÉPARABLES ............................................... 21 2.2.1 Exercices - Série 2 ...................................................................................................................... 23 2.3 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES HOMOGÈNES ....................................................................... 26 2.3.1 Exercices - Série 3 ...................................................................................................................... 27 2.4 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES EXACTES .............................................................................. 28 2.5 FACTEURS INTÉGRANT POUR RENDRE UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE NON EXACTE À UNE ÉD EXACTE.............................................................................................................. 31 2.5.1 Exercices – Série 4 ..................................................................................................................... 34 2.6 APPLICATIONS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 1 ..................................... 36 CHAPITRE III – ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 2 ........................................................ 78 3.1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES HOMOGÈNES À COEFFICIENTS CONSTANTS ............. 78 3.1.1 Cas où les deux racines réelles r1 et r2.sont distinctes: ............................................................... 81 3.1.2 Exercices Série I ......................................................................................................................... 83 3.1.3 Équations différentielles avec la variable dépendante y manquante : ......................................... 84 3.1.4 Exercices Série 2 ......................................................................................................................... 85 3.1.5 Équations différentielles avec la variable indépendante t manquante : ...................................... 85 3.1.6 Exercices Série 3 ......................................................................................................................... 86 3.2 OPÉRATEUR DIFFÉRENTIEL ET SOLUTIONS FONDAMENTALES AUX ÉQUATIONS LINÉAIRES HOMOGÈNES ................................................................................................................... 87 3.3 RACINES COMPLEXES DE L’ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE ............................................ 89 3.3.1 Exercices série 4 ......................................................................................................................... 92 3.4 RACINES DOUBLES DE L’ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE ................................................. 93 3.4.1 Exercices Série 5 ......................................................................................................................... 94 3.5 ÉQUATIONS NON-HOMOGÈNES ............................................................................................ 95 3.5.1 Méthodes des coefficients indéterminés ..................................................................................... 96 3.5.2 Exercices Série 6 ....................................................................................................................... 101 3.5.3 Méthodes de variation des paramètres (Lagrange) ................................................................... 102 3.5.4 Exercices Série 7 ....................................................................................................................... 107 3.6 APPLICATIONS ............................................................................................................................. 108 3.6.1 Système mécanique simple .................................................................................................. 108 3.6.2 Exemples de systèmes non linéaires et linéarisation ................................................................ 130 3.7 ANNEXES ....................................................................................................................................... 140 3.7. 1 Nombres Complexes ................................................................................................................ 140 3.7.2 Présentation des nombres complexes: ...................................................................................... 140 3.7.3 Calcul dans C ............................................................................................................................ 141 3.7.4 Représentation graphique des nombres complexes .................................................................. 142 3.7.5 Forme trigonométrique d'un nombre complexe ........................................................................ 144 3.8 RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS POLYNOMIALES .................................................................... 146 Méthode de la division synthétique (DS)........................................................................................... 147 3.9 MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS POLYNOMIALES ........................................ 151 3.10 NOTATION AVEC PHASE ET AMPLITUDE ........................................................................... 152 CHAPITRE 4 – ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE n ........................................................ 155 4.1 LES ÉQUATIONS HOMOGÈNES À COEFFICIENTS CONSTANTS ....................................... 155 4.1.2 Exercices Série 1 ....................................................................................................................... 165 4.2 LA MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS ............................................................ 166 4.2.1 Exercices Série 2 ....................................................................................................................... 170 4.3 LA MÉTHODE DE VARIATION DES PARAMÈTRES .............................................................. 170 4.3.1. Exercices Série 3 ...................................................................................................................... 174 CHAPITRE 5 – LES TRANSFORMÉES DE LAPLACE ET DE FOURRIER ....................................... 175 5.1 DÉFINITION DE LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE ............................................................... 175 5.1.1 Exercices Série 1 ....................................................................................................................... 179 5.2 LA SOLUTION AUX PROBLÈMES DE VALEURS INITIALES ............................................... 181 5.3 CALCUL DE TRANSFORMÉES INVERSES PAR DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS PARTIELLES ........................................................................................................................................ 187 5.3.1 Exemples Série 2 ....................................................................................................................... 188 5.3.2 Exercices Série 3 ....................................................................................................................... 192 5.3.3 Exercices Série 4 ....................................................................................................................... 196 5.4 RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES À COEFFICIENTS CONSTANTS PAR LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE .................................... 199 5.5 SYSTÈMES MÉCANIQUES AVEC PLUSIEURS MASSES ET PLUSIEURS RESSORTS . 205 5.5.1 Exercices Série 5 ....................................................................................................................... 211 RÉPONSES AUX EXERCICES DE LA PAGE 212 ........................................................................ 212 5.6 LES PROBLÈMES AVEC DES CONDITIONS FRONTIÈRES .................................................. 214 5.6.1 Exercices Série 6 ....................................................................................................................... 215 5.7 LA SÉPARATION DES VARIABLES - LA CONDUCTION DE LA CHALEUR DANS UNE TIGE ...................................................................................................................................................... 216 5.7.1 Exercices Série 7 ....................................................................................................................... 220 5.8 LES SÉRIES DE FOURIER ............................................................................................................ 223 3.8.1 Exercices série 8 ....................................................................................................................... 226 5.9 L'ÉQUATION D'ONDE : LA CORDE VIBRANTE ..................................................................... 228 5.9.1 Exercices Série 9 ....................................................................................................................... 232 1 CHAPITRE I - INTRODUCTION Plusieurs phénomènes physiques et lois de comportement sont définis par des équations impliquant des taux de variation d’une fonction y (variable dépendante) par rapport à une variable indépendante x. Ces équations sont alors appelées: Équations différentielles. Par conséquent, afin de comprendre et d’analyser les problèmes reliés à la mécanique des fluides, à la dissipation de chaleur dans un solide, à la propagation et la détection des ondes sismiques, où encore à l’augmentation et à la diminution des populations et plusieurs autres phénomènes, il est indispensable de comprendre la théorie des équations différentielles. Nous allons analyser un problème simple afin d’introduire les notions de base des Équations différentielles. Exemple 1.1 : Supposant qu’un objet est en chute libre dans l’atmosphère proche du niveau de la mer. Trouver l’équation différentielle décrivant le mouvement de l’objet. La position h en mètre (altitude, hauteur) et la vitesse v (en m/s) de l’objet dépendent de la variable indépendante, le temps t. La loi physique décrivant le mouvement d’un objet est la deuxième loi de Newton: ma F  où F est la force d’accélération (en N), m est la masse de l’objet (en kg) et a est l’accélération en m/s2. Sachant que l’accélération dt dv a  , on obtient : dt dv m F  (Éq.1.1) Considérons maintenant les forces agissant sur l’objet: 1) la force de gravité mg, où g = 9.8 est l’accélération de la pesanteur en m/s2 et 2) la force exercée par la résistance de l’air dans le sens opposé au mouvement de l’objet (drag force ou force de traîné). La force due à la résistance de l’air est souvent considérée proportionnelle à la vitesse v , où  est le coefficient de traîné. La force résultante est donc : v mg F    (Éq.1.2) 2 L’égalité entre les équations 1.1 et 1.2 donne : v mg dt dv m    (Éq.1.3) l’Éq. 1.3 est le modèle mathématique décrivant le mouvement d’un objet en chute libre dans l’atmosphère proche du niveau de la mer. Notez que ce modèle contient trois constantes : m, g et . Les constantes m et  dépendent du poids et de la géométrie de l’objet, alors que g est une constante quelque soit l’objet. Pour résoudre ce problème, il suffit de trouver une fonction v( t ) qui satisfasse l’équation différentielle 1.3. L’Éq. 1.3 peut s’écrire sous la forme suivante : m v g dt dv    (Éq.1.4) Si m = 10 kg et  = 2 kg/s, alors : 5 8 9 v . dt dv   (Éq.1.5) Nous étudierons la solution de l’équation 1.5 dans le prochain chapitre. Champ de direction Les champs de direction sont des outils pratiques dans l’étude des solutions aux équations différentielles de la forme ௗ௩ ௗ௧ൌ݂ሺݐ, ݒሻ où f est une fonction donnée des variables t et y. Traçons par exemple à l’aide du logiciel MatLab le champ de direction de l’Éq. 1.5. La figure 1.1 montre que chacune des flèches est une droite tangente à la courbe d’une solution de l’Éq. 1.5. 3 Figure 1.1. Champ de direction et solution d’équilibre pour l’équation 1.5 Solution d’équilibre  ௗ௩ ௗ௧ൌ0,  ݒሺݐሻൌ49 est une solution d’équilibre. 4 1.1 CONSTRUCTION D’UN MODÈLE MATHÉMATIQUE Dans l’application des équations différentielles aux multiples phénomènes physiques et champs d’utilisation, il est nécessaire de bien formuler le comportement du problème par l’équation différentielle adéquate. La construction du modèle mathématique est parfois l’étape la plus difficile de la solution du problème. Les étapes suivantes peuvent aider l’ingénieure ou l’ingénieur à formuler un modèle mathématique sous forme d’une équation différentielle : 1. Identifier les variables indépendantes et dépendantes et leur assigner des lettres pour les représenter. La variable indépendante est souvent la variable temps. 2. Énoncer les principes de base qui gouvernent le problème à résoudre. Ceci peut être à l’aide de lois physiques comme par exemple les lois de Newton, où parfois des lois de comportement basées sur des essais expérimentaux ou sur des observations naturelles. 3. Exprimer le principe ou la loi de comportement de l’étape 2 en fonction des variables choisies. Ceci peut nécessiter l’introduction de constantes ou paramètres (comme le coefficient de traîner dans l’exemple 1) et de connaître leurs valeurs appropriées. 4. S’assurer que les termes de votre équation différentielle (de chaque côté du signe d’égalité) ont la même unité physique de mesure. 5. Le résultat de l’étape 4 est une seule équation différentielle constituant le modèle mathématique recherché. Dans plusieurs autres problèmes, les modèles sont constitués de plusieurs équations différentielles (systèmes d’équations différentielles) inter-reliées entre elles. Cependant, les étapes 1 à 4 sont applicables à chacune des équations différentielles. Le tableau 1 présente quelques modèles mathématiques sous formes d’équations différentielles ainsi que leurs champs d’application. Variation d’une substance chimique en fonction du temps Un étang contient 1 000 000 gal d’eau et une quantité inconnue d’un produit chimique polluant. De l’eau contenant 0,01 g de ce produit chimique par gallon s’écoule dans l’étang à un taux de 300 gal/min. uploads/Geographie/ gci-140-notes-de-cours.pdf