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Centre régional des métiers de L’éducation et de la formation Kénitra Recherche

Centre régional des métiers de L’éducation et de la formation Kénitra Recherche pédagogique : Préparé par : MINA REBBOUH encadré par : Mr. HAMID ARROUB Filière : professeur stagiaire en maths-qualifiant Année formative : 2012/2013 Remerciement Il m’est agréable d’exprimer ma profonde et respectueuse gratitude et mes sincères remerciements envers toutes les personnes qui ont soutenu mon travail durant toute la période de mon stage de fin d’étude. En particulier, le professeur Mr. HAMID ARROUB, mon encadrant pour son encadrement et son aide précieuse qui m’ont été d’une grande utilité et son soutien durant toute la période de la réalisation de ce travail. Mes remerciements sincères au professeur Mr. JAMAL BELKADI, pour son aide, son disponibilité et ses conseils durant tout le temps de mon stage. Je remercie également le professeur Mme ESAADIA BENZAID, pour son encadrement et son soutien pour la réalisation de ce projet ainsi tous mes professeurs du branche maths qualifiant. Je remercie vivement tous mes collègues de CREMF et qui sont nombreux à citer. Enfin diverses personnes ont apporté une contribution non négligeable de prés ou de loin en vue de la réalisation de ce travail, qu’elles trouvent ici l’expression de mon profond respect. Dédicace A mes chers parents dont le sacrifice et le dévouement consacré pour notre éducation et la poursuite de nos études restera la flamme qui éclairera éternellement mon chemin. Puisse Dieu vous combler de santé, de bonheur et de prospérité et vous accorde une longue vie. A mon cher frère, à mes deux sœurs et à toute la famille. A mon cher oncle ABOU CHOUAÏB DELYASSE, décidé le samedi 27/04/2013 à 9h du matin et qui a laissé un vide étrange dans mon cœur comme une rancœur, une tristesse qui jamais ne cesse….La mort l’as assassiné, jamais je n’aurais imaginé que son fin approchait, j’ignorais ce qu’était la mort, ce qu’était les remords, il me manque mais je sais que rien ne pourra jamais le ramener .Un jour je le rejoindrai et je le reverrai, la haut je le retrouverai. Que Dieu bénisse son âme en paix éternelle. A mon encadrant le professeur Mr. HAMID ARROUB et à tous mes professeurs de CREMF. A tous mes amis(es) de CREMF. Je dédie ce travail. Avant propos Il est bien entendu qu’une formation donnée ne pourrait être complète qu’après avoir un exercice pratique, c’est dans ce cadre qu’a pendant la formation au CREMF, le futur professeur est appelé à passé un stage pratique dans le lycée concerné. De ce fait, j’ai passé mon stage au lycée Taha Hossein, c’est un monde plein d’activité, d’enthousiasme où la pratique joue un rôle impératif, c’est le monde du travail qui diffère de celui des études. En fait, ce stage m’a appris beaucoup de choses telles que : la manière d’affronter les élèves, l’acquisition de l’information, la précision, la compréhension, la vigilance, la résistance au stress, l’intervention…. Sommaire Remerciement.............................................................................................................................2 Dédicace......................................................................................................................................3 Avant propos...............................................................................................................................4 Introduction générale.................................................................................................................6 Chapitre I La limite et son histoire1.............................................................................................................7 Chapitre II Apprentissage de la notion de limite2.........................................................................................9 1. Modèles spontanés et modèles propres............................................................................9 2. La notion de limite4........................................................................................................10 Chapitre III I. Etude d’acquisition de la limite dans l’enseignement marocain4..........................................12 1. Présentation8 :....................................................................................................................12 2. Bilan de contrôles passés :................................................................................................12 II. Diagnostic des erreurs et remédiassion7..............................................................................14 1. Erreurs commis6 :...........................................................................................................14 2. Classification9 :...............................................................................................................15 3. L'erreur dans un système didactique minimal10............................................................15 4. Remédiation6 :................................................................................................................16 Chapitre IV Conclusion et perspective.........................................................................................................17 Bibliographie.............................................................................................................................18 Introduction générale La mémoire de fin de formation est la partie essentielle et complémentaire d’un diplôme de professeur de mathématique qualifiant et qui sera achevée par une soutenance en fin de l’année. C’est pour cette raison que je travail durant la période de mon stage sur l’étude du concept limite en mathématiques ainsi dans l’enseignement marocain, le diagnostic et la remédiation des erreurs commis par les élèves. La théorie des situations permet de fonder l'étude des erreurs sur leur rôle, sur leurs effets et sur leur importance dans les processus didactiques. L'article montre ainsi les classifications des méthodes d'études, plus proches du travail des professeurs, à qui il fournit ainsi une base de réflexion originale et utile. La méthode d'étude d'un concept de mathématique ou de didactique dans ce cadre consiste à le « définir» par des interactions caractéristiques (dans ce que nous appelons la « situation objective ») et à suivre les effets de ces interactions sur les différentes composantes du système didactique (les différents niveaux de l'analyse du milieu, par exemple). Munis de ces définitions, nous essayerons de dégager les caractères principaux et les types des erreurs que l'on pourra observer dans les pratiques effectives d'enseignement et d'en tirer des explications et des prévisions des phénomènes qu'elles suscitent, Chapitre I La limite et son histoire1 Avant d'arriver à la notion de limite que nous connaissons tous maintenant, les mathématiciens ont eu beaucoup de mal à préciser cette notion. L'étude de l'histoire de la notion de limite permet de voir que la plupart des modèles que nous avons rencontrés chez les élèves ont existé et ont joué un rôle dans l'évolution de la notion de limite. On employait encore au siècle dernier le mot "limite" pour désigner les bornes d'un intervalle; le débat pour voir si la limite peut être atteinte ou non, si l'on peut se rapprocher indéfiniment d'un point sans le toucher, a été au coeur de la construction de l'analyse, en particulier du calcul différentiel, au XVIIIe siècle. Les façons d'opérer des grands mathématiciens d'alors apportent un éclairage intéressant pour la compréhension des modèles qu'ont les étudiants aujourd'hui. L'évolution historique permet aussi de situer les réelles difficultés de notion de limite, et de comprendre que la définition mathématique ne suffit pas à effacer toutes les difficultés de la notion de limite, et de comprendre que la définition mathématique ne suffit pas à effacer toutes les difficultés. A. Zénon d'Élée On peut faire commencer l’histoire du concept de limite avec Zénon d'Élée, qui vécut autour de 450 avant Jésus-Christ et fut un disciple de Parménide. Il est surtout connu pour ses paradoxes qui prétendent démontrer l’impossibilité du mouvement. Le premier de ces paradoxes est celui de la dichotomie, ou partage en deux : « Un mobile partant de A pour aller en B doit d'abord arriver en M1, milieu de [AB]. Puis il doit arriver en M2, milieu de [M1B], puis en M3, milieu de [M2B], et ainsi de suite, à l'infini... Devant parcourir cette infinité d'étapes, le mobile n'arrivera jamais au but. » La clé de ce paradoxe est que ces déplacements, en nombre infini, seront cependant parcourus en un temps fini. Le second paradoxe de Zénon d'Élée est celui d'Achille et de la tortue : « Le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide, car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d'où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance. ». C’est le même problème que celui de la dichotomie et sa solution est identique. B. Euclide Les suites géométriques sont sous-jacentes dans les paradoxes cités de Zénon. La limite de telles suites intervient aussi dans la proposition 1 du livre X d’Euclide1 (Euclide vécut à Alexandrie aux alentours de 300 avant Jésus-Christ) : « Deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées. » En fait, la conclusion d’Euclide coïncide exactement avec la définition actuelle du fait que la limite de la suite positive (un) est égale à zéro. C. Intuition et manque de rigueur : XVIIe et XVIIIe siècles L’Analyse fit d’énormes progrès au cours des XVIIe et XVIIIe siècles. Les mathématiciens de cette époque avaient une intuition claire de la notion de limite. On trouve l'idée par exemple chez Leibniz, dans le premier article qu'il publia, en février 16822. L’objet de cet article est de donner le nombre π comme la somme suivante : π=4[1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13 etc.] .Et Leibniz d’écrire : « L’ensemble de la série renferme donc en bloc toutes les approximations, c'est-à-dire les valeurs immédiatement supérieures et inférieures, car, à mesure qu’on la considère de plus en plus loin, l’erreur sera moindre […] que toute grandeur donnée. » Cependant, les mathématiciens de l’époque n’essayèrent pas de définir précisément le concept de limite. Ils se fiaient à leur intuition et menaient souvent des raisonnements peu rigoureux, qui parfois les induisaient en erreur. Mais, parmi tous les nouveaux résultats valables et intéressants découverts à cette époque, les erreurs commises pouvaient apparaître comme des incidents sans importance. D. Le progrès par la recherche de la rigueur : Cauchy, Weierstrass À mesure toutefois que s'étendaient les recherches et les découvertes en Analyse au cours de XIXe siècle, la nécessité de définir clairement les concepts et les termes mis en oeuvre se fit sentir. Cette mise en ordre commence avec Louis-Augustin Cauchy (1789-1857), qui uploads/Geographie/ etude-du-concept-limite.pdf