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1 Chapitre 3 DIOPTRE SPHERIQUE DANS L’ APPROXIMATION DE GAUSS I. Tracé des rayo

1 Chapitre 3 DIOPTRE SPHERIQUE DANS L’ APPROXIMATION DE GAUSS I. Tracé des rayons à l’aide des lois de Descartes II. Relation de conjugaison du dioptre sphérique III. Vergence du dioptre sphérique IV. Position des foyers V. Construction des images VI. Calcul du grandissement VII. Relation de conjugaison avec origine aux foyers VIII. Relation de conjugaison avec origine au centre de courbure 2 I. Tracé des rayons à l’aide des lois de Descartes Un dioptre sphérique est une portion de surface sphérique séparant deux milieux d’indices différents, comme l’illustre schématiquement la figure ci-après, où S représente le sommet du dioptre et C son centre de courbure. Lorsque les conditions de Gauss ne sont pas réalisées (autrement dit, les rayons ne sont pas faiblement inclinés par rapport à l’axe), il faut appliquer les lois de Snell-Descartes pour déterminer la marche des rayons à la traversée du dioptre. Les lois de Descartes relatives à la réfraction se résument dans l’expression suivante : 1 1 2 2 ( ) . n u n u a N   Cette expression conduit à la relation suivante : 1 1 2 2 sin sin , n i n i  qui permet de déterminer l’angle de réfraction 2 i d’un rayon lumineux arrivant sur le dioptre avec un angle d’incidence 1 1 ( , ) i N u  . Rappelons que l’angle d’incidence est l’angle que fait le rayon incident avec la normale N au point d’impact sur le dioptre. Ainsi, connaissant 1 i , 1 n et 2 n , on déduit 1 2 1 2 sin sin . n i Arc i n        Mais ce calcul n’est relatif qu’à un seul rayon. La détermination de l’image d’un objet étendu par cette méthode est très longue, car il faut répéter ce type de calcul pour un grand nombre de rayons issus de tous les points de l’objet. Cette technique est surtout utilisée lorsque l’on veut simuler la trajectoire des rayons dans des instruments travaillant avec des grands angles d’ouverture tels que les appareils photo « grand angle ». Pour une bonne majorité de systèmes optiques, cette technique est superflue. On préfère généralement se placer dans les conditions de l’approximation de Gauss, en utilisant des rayons faiblement inclinés par rapport à l’axe optique. Ao Ai n2 n1 S I C u2 i1 u1 i2 R N z + 3 II. Relation de conjugaison du dioptre sphérique On considère le système schématisé dans la figure ci-après : Dans le repère (S,X,Y,Z) on a 1 1 ( , ) z u u  2 2 ( , ) z u u  ( , ) z u N  1 1 ( , ) i N u  et 2 2 ( , ) i N u  représentent les angles d’incidence et de réfraction. D’après la figure, 1 2 1 2 0, 0, 0, 0, 0. i i         La loi de Snell-Descartes relative à la réfraction s’écrit : 1 1 2 2 ( ) n u n u a N    1 1 2 2 1 1 2 2 ( . . ) cos cos a n u N n u N n i n i     Au premier ordre, on a 1 2 a n n   , car les angles 1 2 i et i sont en réalité très petits en raison de la faible inclinaison des rayons lumineux. Dans la figure ci-dessus, tous les angles ont été fortement grossis dans un souci de clarté de la figure. Ainsi, avec 1 2 a n n   , on a : 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) IC IC n u n u n n N n n n n IC SC         Ici, l’approximation de Gauss (rayons peu inclinés par rapport à l’axe) implique que X X I Y Y Z SH                      1 1 1 1 u              2 2 2 2 u              0 0 C SC           1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 / ( ) / (1) 1 X SC X X n n n n n n Y Y n n Y SC SC SC SC SH SC                                                                         A1 A2 n2 n1 S I C u2 i1 u1 i2 N Z H 2 1 + X Y  uz Direction du rayon incident Direction du rayon émergent Centre de courbure 4 . Dans cette situation le système d’équation (1) se réduit aux deux équations suivantes : 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) (2 ) ( ) (2 ) X n n n n a SC Y n n n n b SC                  Du fait de la symétrie de révolution autour de l’axe Sz on peut se contenter d’examiner le problème dans le plan (méridien) défini par les vecteurs 1 2 , z u u et u . Cela revient à repérer le point d’impact I (du rayon incident sur le dioptre) par sa distance par rapport l’axe optique, que nous noterons x=HI. Dans ce plan (contenant l’axe HI) les vecteurs 1 2 u et u sont repérés par leurs angles inclinaison respectifs, 1 2 et  , par rapport à l’axe optique repéré par z u . Ainsi, dans ce plan méridien (contenant l’axe optique), les équations (2a) et (2b) se réduisent à la seule équation qui suit : 1 1 2 2 1 2 ( ) . (3) x n n n n SC      1 1 2 2 . 1, . 1. z z u u et u u       u              I Z x X Y H u y z    uz x z A1 A2 n2 n1 S I C u2 i1 u1 i2 N z 1 2 H + x 5 * Par ailleurs, les rayons étant faiblement inclinés par rapport à l’axe optique, les angles 1 2 et   sont très petits. On peut donc confondre leur sinus et leur tangentes : Ici on doit faire très attention aux signes des angles ; 1 2 0 0 et     . * D’autre part, le point S (sommet du dioptre) étant très voisin de H, on peut confondre ces deux points dans les expressions ci-dessus ; 1 1 2 2 A H AS et A H A S   , qui prennent alors la forme suivante : 1 2 1 1 2 2 . (4) HI x HI x et A S A S A S A S       En invoquant les relations (4), la relation (3) se met sous la forme suivante : La relation (5) constitue la relation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au sommet. Cette relation permet de déterminer la position d’une image ( 2 SA ) lorsqu’on connaît celle de l’objet ( 1 SA ) et les caractéristiques du dioptre. La quantité algébrique SC correspond au rayon de courbure du dioptre. Le dioptre sphérique utilisé dans l’approximation de Gauss est symbolisé de la manière suivante : 1 1 1 1 1 tan sin , HI HI A H A I        2 2 2 2 2 tan sin . HI HI A H A I        1 2 1 2 1 2 (5) n n n n SA SA SC    C S n1 n2 z S C n1 n2 z Dioptre convexe Dioptre concave 6 III. Vergence du dioptre sphérique Le sens de propagation de la lumière est choisi du milieu d’indice n1 vers le milieu d’indice n2. Par définition, la vergence d’un dioptre sphérique est la quantité notées (ou metre-1) Elle s’évalue en dioptries, Si V>0 le dioptre est convergent, et uploads/Geographie/ cours-optique-chap3.pdf