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Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBE

Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBEL-Année 2021 Faculté des Sciences de Bizerte Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES I. Définition Un dioptre est la surface de séparation entre deux milieux transparents d’indices de réfraction différents. Il existe des dioptres plans, des dioptres sphériques et d’autres de formes quelconques. II. Dioptre plan II.1. Dioptre unique Soit un dioptre plan qui sépare deux milieux d'indices n1 et n2 avec n1 > n2 : Dans le milieu n1 se trouve un objet A réel. On cherche la position de A', image de A par le dioptre plan. On utilise deux rayons : ▪ Le rayon issu de A qui arrive perpendiculairement au dioptre en H, n'est pas dévié. ▪ Le rayon issu de A dont l'angle d'incidence est i1, est réfracte avec un angle i2. Comme n1> n2, alors i2 > i1, et le rayon réfracté s’éloigne de la normale. A’ se trouve à l’intersection des deux rayons réfractés. A’ st situé au-dessous de A. A’ est virtuelle. Dans les triangles rectangles AHI et A’HI, on peut écrire : ) i ( tg . H ' A ) i ( tg . AH HI 2 1   Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBEL-Année 2021 Faculté des Sciences de Bizerte D’où ) i cos( ) i cos( . n n ) i sin( ) i cos( . ) i cos( ) i sin( HA ' HA 1 2 1 2 2 2 1 1   Puisque, d’après la loi de Descartes, i2 est fonction de i1, cette relation montre que la position de l’image dépend de la position de l’objet et de i1  Le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour un point objet quelconque. Il y a stigmatisme rigoureux que pour les points particuliers suivants : ▪ Points de la surface du dioptre : 0 HA   0 ' HA  ▪ Points situés à l’infini :   HA    ' HA En dehors de ces points, on se place dans les conditions de Gauss : les rayons sont peu inclinés par rapport à la normale au dioptre, ainsi i1 et i2 sont petits. On a alors : 1 ) i cos( 1  et 1 ) i cos( 2 , ce qui donne 1 2 n n HA ' HA  , indépendant de i1. Finalement, on en déduit la relation de conjugaison du dioptre plan reliant la position de l’image A’ à celle de l’objet A : 2 1 n ' HA n HA  La relation précédente implique que l’image d’un objet parallèle au dioptre a la même taille et se trouve dans le même sens que celui-ci. Le grandissement s’écrit : 1 AB ' B ' A    Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBEL-Année 2021 Faculté des Sciences de Bizerte En outre, à partir de la relation de conjugaison on voit que si l’objet est dans le milieu le plus réfringent, l’image est plus près de la surface du dioptre; tandis que si l’objet est dans le milieu le moins réfringent, l’image est plus éloignée de la surface du dioptre. L’image est de même dimension que l’objet et de nature différente (l’un réel, l’autre virtuel). Exemple : Cas du dioptre air-eau (n1 < n2) Un bâton plongé partiellement dans l’eau parait brisé, l’image est rapprochée de la surface. II.2. Association de deux dioptres plans : Lame à faces parallèles On se place dans les conditions de stigmatisme approché c’est à dire qu’on considère des rayons paraxiaux. ' A A A ' D 1 D     (1) (n) (1) Ecrivons les formules de conjugaison des deux dioptres : 1er dioptre : 1 D A A    ' 1 1 1 n A H 1 A H  Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBEL-Année 2021 Faculté des Sciences de Bizerte 2ème dioptre : ' A A ' D 1    1 A H n A H ' 2 ' 1 2  2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 H H n 1 1 n A H H H n H A ' A H H H AH ' AA              Donc : e n 1 1 ' AA        L’image se déduit de l’objet par une translation indépendante de sa position. Cette translation est dans le sens de la lumière lorsque l’indice de la lame est supérieur à 1. Remarque : Il n’y a stigmatisme rigoureux que si A est rejeté à l’infini. III. Dioptre sphérique Soit un dioptre sphérique séparant deux milieux d'indices n et n’et caractérisé par : ▪ les indices n et n’ des espaces objet et image réels, respectivement. ▪ son sommet S qui est l’intersection du dioptre avec l’axe optique principal. ▪ son centre C. ▪ son rayon de courbure R=SC. Soit A un objet réel situé sur l'axe. → un rayon issu de A passant par C ne subit aucune déviation → A' appartient à l'axe optique. III.1. Relations de conjugaison Soit un point A situé sur l’axe principal du dioptre. Le rayon lumineux AS tombe sur le dioptre en S, sous incidence normale, il n’est pas dévié par celui-ci. L’image A’ sera donc sur l’axe principal du dioptre. Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBEL-Année 2021 Faculté des Sciences de Bizerte Pour déterminer la position de A’, on prend un deuxième rayon A I faisant avec la normal C I en I l’angle d’incidence i1 = (IC, IA). La relation de Descartes, appliquée en I, donne l’angle de réfraction i2 : n sin i1 = n’ sin i2 Dans le cas de la figure ci-contre, n’< n, donc i2 > i1, le réfracté s’écarte de la normale: i2= (IN, IT) C’est le prolongement de IT qui coupe l’axe optique en A’. De même que dans le dioptre plan, A’ dépend de l’angle d’incidence i1 sauf si on se place dans l’approximation de Gauss (i1 petit). ▪ Origine au sommet : En désignant par et les inclinaisons respectives de AI, A’I et CI sur l’axe optique, et par H la projection de I sur l’axe optique. On a dans les triangles CHI, AHI, A’HI, les relations : HC HI tg   , HA HI tg 1   , ' HA HI tg 2       tg , 1 1 tg    , 2 2 tg    Dans le triangle ACI, on a : 1 1 i     De même, dans le triangle: A’CI on a : 2 2 i     En remplaçant les angles par leur expression, on obtient : HC HI = 1 i HA HI  Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBEL-Année 2021 Faculté des Sciences de Bizerte HC HI = 2 i ' HA HI  En remplaçant dans la relation 2 1 i ' n ni  les angles 1 i et 2 i par les expressions obtenues précédemment, on obtient :                    ' HA HI HC HI ' n HA HI HC HI n                 ' HA 1 HC 1 ' n HA 1 HC 1 n Dans l’approximation des petits angles, H et S sont pratiquement confondus ; d’où :                ' SA 1 SC 1 ' n SA 1 SC 1 n  SC n ' n SA n ' SA ' n    C’est la relation de conjugaison du dioptre sphérique ave origine au sommet. ▪ Origine au centre : En remplaçant SApar CA SC et ' SA par ' CA SC , on obtient la relation de conjugaison du dioptre sphérique ave origine au centre : CS ' n n CA ' n ' CA n    Remarque : Si SCtend vers l'infini, on retrouve la relation de conjugaison d’un dioptre plan. III.2. Foyers du dioptre sphérique Le dioptre sphérique possède deux foyers : foyer objet F et foyer image F’. ▪ Foyer objet : Le foyer objet est le point dont l'image est rejetée à l'infini. A = F  A' → infini La relation de conjugaison avec origine au sommet devient : Chapitre IV : DIOPTRES PLANS ET SPHÉRIQUES Optique Géométrique Pr. Najoua DERBEL-Année 2021 Faculté des Sciences de Bizerte SC n ' n SF n ' n      SC n ' n n f SF  uploads/Geographie/ chapitre-iv-optique-geometrique-2021.pdf