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Mathématiques financières (Support de cours) Par : François FATURURIMI Année ac

Mathématiques financières (Support de cours) Par : François FATURURIMI Année académique 2020-2021 Plan du cours Chap. I : Rappel des pré-requis Section I : Suites I.1-suites arithmétiques I.2-Suites géométriques Section II : Exponentiel et Logarithmes II.1-Exponentiel II.2-Logarithme Section III : Couts, Frais et Taux relatifs à la formation du Prix de Vente III.1-Tableau de formation du Prix de Vente (PV) III.2-Taux de marge et taux de marque Section IV : Pourcentages IV.1-Pourcentages en dehors IV.2- pourcentages en dedans Chap. II : Opérations financières à Court Terme : Intérêts simples et Escompte Section I : Intérêt simple I.1-Formule fondamentale de l’intérêt simple I.2-Calculs sur la formule fondamentale I.3-Valeur Acquise par un capital I.4-Taux moyen d’une série de placements effectués simultanément I.5-Intérêt commercial et intérêt civil I.6-Intérêt précompté; taux effectif de placement I.7-Méthodes des Nombres et des diviseurs fixes Section II : Escompte et équivalence de capitaux II.1- Escompte commercial II.2-Escompte réel II.3-Equivalence des effets ou de capitaux Chap.III : Opérations financières à Long Terme : Capitalisation et Actualisation Section I : Capitalisation I.1- Notion de capitalisation I.2-Formule fondamentale des intérêts composés I.3-Calculs sur la formule fondamentale des intérêts composés I.4-Taux équivalents ; taux proportionnels Section II : Actualisation II.1-Formule fondamentale de l’actualisation II.2-Effets équivalents ou capitaux équivalents II.3-Problèmes pratiques posés par la notion d’équivalence II.4-Comparaison de capitaux Chap. IV : Annuités Section 1 : Valeurs acquise et actuelle d’une suite d’annuités constantes I.1- Valeur acquise par une suite d’annuités constantes I.2-Détermination de l’annuité constante I.3- Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes I.4- Relation entre les valeurs acquise et actuelle d’une suite d’annuités constantes Section 2 : Valeurs acquise et actuelle d’une suite d’annuités en progression géométrique II.1- Valeur acquise par une suite d’annuités en progression II.2- Valeur actuelle d’une suite d’annuités en progression Bibliographie  Pierre BONNEAU, Mathématiques financières, Coll. Economie, Paris, Ed. Dunod, 1980.  Jean-Marcel DALBARADE, Mathématiques des marchés financiers, Ed. Eska, 2005.  Mathieu LE BELLAC & Arnaud VIRICEL, Mathématiques des marchés financiers: Modélisation du risque et de l'incertitude, Ed. EDP Sciences, 2012.  Benoît MANDELBROT & Richard HUDSON, Une approche fractale des marchés, Ed. Odile Jacob, 2005.  Walder MASIERI, Mathématiques financières ; 9e Ed. Paris : Dalloz, 2009  Didier SCHLACTHER, Comprendre les mathématiques financières. 3e éd. Paris : Hachette Supérieur, 2007. Objectifs du cours  Le présent module a comme finalité de doter les apprenants d’outils d’aide à la décision financière. Pré-requis  Le présent module nécessite des pré-requis : o en mathématiques générales notamment les notions de suites, les logarithmes et l’exponentiel. o Dans les opérations commerciales élémentaires telles que le processus de détermination du prix de vente Résultats attendus  A la fin du module, les apprenants devraient être capables d’utiliser les outils acquis pour prendre ou orienter une décision en matière d’investissement ou de placement.  Ils devraient notamment être à mesure de : o Déterminer les meilleures sources de financement o Déterminer les meilleurs modes de financement o Déterminer les meilleurs investissements o Déterminer les meilleurs placements o Faire un arbitrage entre investissements et placements  De façon précise, les apprenants doivent être à mesure d’effectuer des opérations financières simples telles que les intérêts simples et l’escompte commercial.  Ils doivent être aussi à mesure d’effectuer des opérations financières à long terme.  Ils doivent être notamment familiers aux opérations de capitalisation et d’actualisation et d’annuité. Méthodologie  Un cours magistral appuyé par un exemple à la fin de chaque section et deux à quatre exercices pratiques à la fin de chaque chapitre. Le cours magistral occupe 3/4 du volume horaire consacré au module.  Des séances de travaux dirigés menées à la fin du cours magistral occupent 1/4 du volume horaire dédié aux modules. Chap. I : Rappel des pré-requis Section I : Suites I.1-suites arithmétiques Une suite (un) est arithmétique si il existe un réel « r » tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. r est appelé raison de la suite. Si nous prenons u0 comme premier terme, u1 = u0 + r U2 = u1 + r U2 = u0 + r +r U2 = u0 +2 r ---- Un = u0 +n r Pour tous les entiers naturels n et p, on a : un = u0 + nr et un = up + (n - p)r. I.2-Suites géométriques Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un. q est appelé raison de la suite. Si nous prenons u0 comme premier terme, u1 = q u0 U2 = q u1 U2 = q*qu0 U2 = q2u0 ---- Un = qnu0 Pour tous les entiers naturels n et p , on a un = qn u0 et un = qn-p up Section II : Exponentiel et Logarithmes II.1-Exponentiel e 0=1 e 1=e e (a+b)=e a∗e b e (−b)= 1 e b e (a−b )=e a e b e (na )=(e¿¿a) n¿ II.2-Logarithme On appelle logarithme népérien, la fonction réciproque de « exponentiel ». ln (e x)=x ln (1)=0 ln (e)=1 ln (ab )=ln (a )+ln(b) ln( a b)=ln (a)−ln(b) ln( 1 b)=−ln(b) ln (a n)=nln (a) e lnx=x Section III : Couts, Frais et Taux relatifs à la formation du Prix de Vente III.1-Tableau de formation du Prix de Vente (PV) a- Le prix d'achat C'est le prix auquel le commerce achète le produit chez son fournisseur. Ce prix ne tient pas compte des différents frais. b- Les frais d'achat Ce sont tous les frais engagés par le commerçant dans le processus d’approvisionnement. Il peut s'agir des frais de transport car dans certains cas, des commerçants se déplacent dans des endroits éloignés (à l'étranger par exemple) pour acheter des produits. Ces déplacements occasionnent des frais qui peuvent être comptés dans les frais d'achat. Il peut s’agir aussi des frais liés à l’assurance, au transit, à la manutention et au dédouanement de la cargaison. c-Le coût d'achat C'est le coût des produits en tenant compte des frais d'achat. Co ût d 'achat (CA)=Prix d ' Achat (PA)+Frais d ' Achat (FA) CA = PA +¨FA d-Les frais de vente/ de distribution Ce sont tous les frais qui ont été engagé par le commerçant dans le processus de vente de ses produits. Il peut s’agir des frais liés à la publicité, aux livraisons, aux salaires et commissions des vendeurs, etc. e- La marge brute ou marge commerciale La marge brute correspond à la somme d'argent gagnée par le commerçant. C'est la différence entre le coût d'achat et le prix de vente hors taxes. Marge Brute(MB )=Prix deVente HT (PVHT )−Co ût d ' Achat(CA) MB = PVHT - CA f- La marge nette La marge nette correspond à la somme d'argent réellement gagnée par le commerçant compte tenu de tous les frais. C'est la différence entre le coût de revient (prix de revient) et le prix de vente hors taxes. MargeNette (MN )=Prix deVente HT (PVHT )−Coût d ' e Revient(CR) MN = PVHT – CR MN = PVHT – PR On peut aussi déterminer la marge nette en faisant la différence entre la marge brute (MB) et les frais de vente(FV) MN = MB – FV g-Le prix de vente Hors Taxes (PVHT), la Taxe sur la Valeur Ajoutée (TVA) et le prix de vente Toutes Taxes comprises (PVTTC). Le prix de vente Hors Taxes Le prix de vente Hors-Taxes (PVHT) est le prix administré au client sans tenir compte de la T.V.A. Quant on parle du prix de vente de plusieurs produit, on utilise l'expression Chiffre d'affaires hors taxes (ou toutes taxes comprises). C’est le prix de vente unitaire HT (ou TTC) x quantités vendues. La Taxe sur la Valeur Ajoutée (TVA) La Taxe sur Valeur Ajoutée est un impôt indirect qui s'applique sur certains biens et services vendus. C'est un taux (pourcentage) du Prix de vente HT. Même si le commerçant touche de la part du client le prix TTC, la TVA ne lui appartient pas. C'est un impôt qu’il doit reverser à l'Etat. Le prix de vente Toutes Taxes Comprises (TTC) C'est le prix final payé par le client. Il tient compte de la TVA qui sera rendue ultérieurement à l'Etat par le commerçant. La TVA s'ajoute au prix de vente hors taxes pour donner le prix de vente TTC. Prix deVente TTC (PVTTC )=Prix deVenteHT (PVHT )+TVA PVTTC = PVHT + TVA III.2-Taux de marge et taux de marque a-Taux de marge C'est le pourcentage (le taux) de la marge brute par rapport au coût d'achat. Taux demarge (Tm)= MargeBrute (MB ) Coût d' Achat(CA) MB = CA * Tm PVHT = CA + MB PVHT = CA + CA * Tm PVHT = CA (1 + Tm) CA= PVHT (1+Tm) b-Taux de marque C'est le pourcentage (le taux) de la marge brute par rapport au prix de vente Hors Taxes. La formule pour le calculer est la suivante : Taux demarque (Tq)= Marge Brute(MB ) Prix deVenteHT (PVHT ) Marge Brute(MB )=Prix deVente HT (PVHT uploads/Finance/ support-notes-de-cours-math-fines-v2020-uauben 1 .pdf