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L’INTERÉT COMPOSÉ [08/01/2021] [NOM DE LA SOCIÉTÉ: institut supérieure de gesti

L’INTERÉT COMPOSÉ [08/01/2021] [NOM DE LA SOCIÉTÉ: institut supérieure de gestion ] Auteur : [Ben Ali Amani Groupe 03 ] Introduction: mathématique financier Chapitre 1 : l’ internet compose Introduction 1. Préambule sur les mathématiques financières a. Définition: On peut définir globalement les mathématiques financières «comme l’application des mathématiques aux opérations financières non instantanées (c’est-à-dire faisant intervenir le temps)». Cette discipline fait intervenir principalement des outils Issus de l'actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel. b. Histoire des mathématiques financières et périmètre du cours L'actualisation ET l'utilisation des intérêts composés et des probabilités remontent à plusieurs siècles. Harpagon : « C’est fort mal fait. Si vous êtes heureux au jeu, vous en devriez profiter et mettre à honnête intérêt l’argent que vous gagnez afin de le trouver un jour. Je voudrais bien savoir, sans parler du reste, à quoi servent tous ces rubans dont vous voilà lardé depuis les pieds jusqu’à la tête, et si une demi-douzaine d’aiguillettes ne suffit pas pour attacher un haut-de- chausses ? Il est bien nécessaire d’employer de l’argent à des perruques, lorsque l’on peut porter des cheveux de son cru qui ne coûtent rien. Je vais gager qu’en perruques et rubans il y a du moins vingt pistoles ; et vingt pistoles rapportent par année dix-huit livres six sols huit deniers, à ne les placer qu’au denier douze.» (Molière - L’Avare – I.4 – 1668) Au denier douze signifie 1 denier d’intérêt pour 12 prêtés, … c’est-à-dire 8,33% ! Cela dit Louis Bachelier, par sa thèse intitulée "Théorie de la spéculation" en 1900, est considéré comme le fondateur des mathématiques financières appliquées aux marchés. Par ailleurs, la théorie moderne des marchés financiers remonte au MEDAF et à l'étude du problème d'évaluation des options et autres contrats financiers dérivés dans les années 1950-1970. Dans ce cours, nous nous contenterons d'explorer les bases des mathématiques financières qui peuvent être qualifiées de "calculs bancaires", c'est à dire permettant d'effectuer les opérations simples auxquelles un banquier pourrait être confronté. De ce fait, nous n'introduirons dans nos réflexions que les dimensions temps et argent, laissant ainsi de coté le hasard et la théorie des probabilities c. Deux notions fondamentales : intérêt et taux d'intérêt i . La notion d'intérêt Il s'agit de la somme due par l’emprunteur au prêteur ou reçue de l’emprunteur par le prêteur en plus du capital prêté. Exemples : . Monsieur X emprunte 12 000 € à sa banque pour l’achat d’une automobile. Il rembourse ce prêt en faisant 36 paiements mensuels de 365 €. Un calcul rapide permet de déterminer que l’intérêt versé est 36 × 365 − 12 000 = 1 140 €. . Madame X place 4 500 € pour 3 ans. Au bout des 3 années, son capital est de 5 445 €. L’intérêt versé à Madame X est donc : 5 445 – 4 500 = 945 €. ii. La notion de taux d’intérêt : Le taux d'intérêt mesure la rémunération d'un prêteur ou d'un investisseur qui se sépare temporairement d'une unité monétaire pendant une période. Il s’exprime en général sous forme de pourcentage des sommes prêtées ou placées pour un an. Exemple : Un taux annuel de 6% signifie que pour 1 € emprunté, il sera remboursé 1,06 € au bout d’un an. Par ailleurs, il est possible de classer les taux d'intérêt dans différentes catégories : Taux fixes/Taux variable : le taux fixes désigne un taux d'intérêt fixé lors de la signature du contrat. Il ne variera pas, quoi qu'il arrive. le taux variable désigne un taux non définitivement fixé, qui évolue à la hausse comme à la baisse. Il s'agit par exemple du taux du livret A. Taux nominal / Taux réel : Le taux nominal est le taux d'intérêt qui est fixé lors de l'opération d'emprunt ou de prêt. Il est inscrit dans le contrat qui lie emprunteur et prêteur et sert à calculer les intérêts dus. Le taux réel est le taux nominal après déduction du taux de l'inflation. Cette définition n'est valable que si le taux d'inflation est faible, sinon il faut utiliser l'équation : 1 + taux d'intérêt nominal = (1 + taux d'intérêt réel) x (1 + taux d'inflation) En période de forte inflation (par example Durant les "Trente glorieuses"), les taux d'intérêt réel peuvent être négatifs, ce qui incite à emprunter. 2 : Notions génerale mathématique Fraction : Puissance : L’interet compose I - Généralités et definitions : En matiere d’opération à long terme un placement peut durée plusieurs années Dans ce cas on peut considerer l’interet fournit par le capital comme un noveau capital qui ajouté au capital initiale produira à son tour des interets . il s’agit de capitalisation de interet ( c’est a dire l’additions des interet au capital ) Avec les intérêts composés, nous abordons les mathématiques financières de moyen et long terme. Pour gérer les comptes de moyen et long terme c’est-à- dire les comptes bloqués, il est rare que les banques paient les intérêts à la fin de chaque année. Ainsi les intérêts obtenus par un capital C à la fin d’une année sont ajoutés à ce capital pour produire eux-mêmes des intérêts : on dit qu’on a capitalisé les intérêts. La technique des intérêts composés consiste à capitaliser les intérêts de chaque période. En d’autres termes, un capital est placé à intérêt composé lorsqu’à la fin de chaque période, l’intérêt simple est systématiquement ajouté au capital initial et aux intérêts simples des périodes précédentes pour déterminer l’intérêt simple de la période suivante Soient : • un capital Co • i : un taux d’intérêt • n : la durée de placement nous pouvons calculer l’intérêt obtenu par ce capital au bout d’un an (n =1). *Pour la 1ère période : Co 1an Le calcul de l’intérêt donne : I = Co i Ce qui donne à la fin de la 1ère année, un capital C1 C1 = Co + I C1 = Co + Coi C1 = Co (1 + i) *Pour la 2ème période : C1 2an Le calcul de l’intérêt donne : I = C1i Ce qui donne à la fin de la 2ème année, un capital C2 C2 = C1 + I C2 = C1 + C1i C2 = C1 (1 + i), avec C1 = Co (1 + i) on a: C2 = Co (1 + i) * (1 + i) * A la fin de la période n : Cn _________=n an Cn = Co (1 + i) n On constate qu’avec les intérêts composés, le capital croît de façon exponentielle avec le temps et le taux d’intérêt NB : A intérêt composé, les intérêts produits par un capital au cours des années 1 ; 2 ; … n après capitalisation des intérêts sont en progression géométrique de raison (1 + i). A intérêt composé, les valeurs acquises successives constatées à la fin des années 1 ; 2 ; … n après capitalisation des intérêts sont en progression géométrique de raison (1 + i) et le 1er terme de la suite est le capital initial Co. II. Valeur acquise et valeur actuelle 1) Valeur acquise : On appelle valeur acquise par un capital C placé à intérêt composé au taux i pendant n années, le total de ce capital et des intérêts composés générés. Un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin de chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir productif d’intérêts la période suivante. La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de n périodes de placement est égale à : Cn = Co(1+t)puissance n avec t : taux d’intérêts sur une période Exemple: Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 % pendant 5 ans. La première année les intérêts se calculent sur le capital C0 = 5000 € : i 1= 5000* 0,04= 200 € La valeur acquise de la première année est : C1 = 5200 € L’année suivante, les intérêts se calculent sur le capital C 1= 5200 € : i 2= 5200* 0,04= 208 € La valeur acquise de la deuxième année est : C1 = 5408 € Ainsi de suite, la valeur acquise de la cinquième année est : soit C5 = 6083, 26 € . 2) Valeur actuelle On appelle valeur actuelle le capital Co qu’il faut placer aujourd’hui au taux i pendant n années pour obtenir le capital Cn Co = Cn /(1+i) puissance n Co = Cn(1+i) puissance –n Exemple 1. Quel est l’intérêt produit par un capital de 10 000F placé au taux annuel de 5% pendant 5 ans ? 2. Quel capital doit – on placer dans les mêmes conditions si sa valeur acquise est de 20 000F dans 5 ans ? Solution 1. I = valeur acquise – C I = 2 762F 2. C = 15 671F III. Cas particulier de calcul de la valeur uploads/Finance/ projet 5 .pdf