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1 Table des matières Introduction................................ .............

1 Table des matières Introduction................................ ................................ ................................ .............................. 3 1. Terminologie et contexte ................................ ................................ ................................ ....3 1.1 Le marché............................................................................................................................3 1.2 Les options................................ ................................ ................................ .......................... 3 1.2.1 Définitions et caractéristiques .............................................................................................3 1.2.2 Pay-offs.....................................................................................................................................4 1.2.2.1 Options vanille ................................................................................................................................4 1.2.2.2 Options binaires ..............................................................................................................................4 1.3 Evaluation des options................................ ................................ ................................ .....5 1.3.1 Valeur intrinsèque et valeur temps dans le cas d’un call ...............................................5 1.3.1.1 Valeur intrinsèque...........................................................................................................................5 1.3.1.2 La valeur temps...............................................................................................................................6 1.3.2 Variations de prix...................................................................................................................6 2. Modèle de Black-Scholes................................ ................................ ................................ ....7 2.1 Le modèle ................................ ................................ ................................ ............................ 7 2.1.1 Présentation du modèle.........................................................................................................7 2.1.2 Dynamique ..............................................................................................................................7 2.1.3 Hypothèses du modèle..........................................................................................................8 2.2 L’EDP de Black & Scholes................................ ................................ ................................ 8 2.3 Solution de l’EDP – Feynman-Kac................................ ................................ .................. 9 2.4 Formules de Black-Scholes et volatilité implicite ................................ .................... 10 2.4.1 Formules.................................................................................................................................10 2.4.1.1 Options vanille ..............................................................................................................................10 2.4.1.2 Options binaires ............................................................................................................................15 2.4.2 Volatilite implicite ...............................................................................................................16 3. Les Grecques................................ ................................ ................................ .......................18 3.1 Le Delta - Définition et Formules ................................ ................................ ................. 19 3.1.1 Options vanille .....................................................................................................................19 3.1.1.1 Définition........................................................................................................................................19 3.1.1.2 Calculs ............................................................................................................................................20 3.1.2 Options binaires ...................................................................................................................23 3.2 Le Gamma................................ ................................ ................................ ......................... 24 3.2.1 Définition...............................................................................................................................24 3.2.2 Calculs ....................................................................................................................................25 3.3 Le Thêta................................ ................................ ................................ .............................25 2 3.3.1 Définition...............................................................................................................................25 3.3.2 Calculs ....................................................................................................................................26 3.4 Le Véga ..............................................................................................................................28 3.4.1 Définition...............................................................................................................................28 3.4.2 Calculs ....................................................................................................................................29 3.5 Rhô................................ ................................ ................................ ................................ .....30 3.5.1 Définition...............................................................................................................................30 3.5.2 Calculs ....................................................................................................................................30 4. Couverture d’options ................................ ................................ ................................ ........32 4.1 Couverture delta-neutre................................ ................................ ................................ ..32 4.2 Couverture Delta-gamma................................ ................................ ............................... 33 4.3 Couverture call binaire................................ ................................ ................................ ...36 4.4 Spreads calendaires (horizontaux................................ ................................ ...............38 4.4.1 Définition du spread (écart) calendaire ..........................................................................38 4.4.2 Fonctionnement-Exploitation.............................................................................................39 4.4.2.1 Application du Thêta aux spreads calendaires.........................................................................39 4.4.2.2 Application du Véga aux spreads calendaires longs ..............................................................40 Conclusion ................................ ................................ ................................ .............................. 41 Bibliographie-Liens internet................................ ................................ ................................ 42 3 Introduction C’est à Louis Bachelier que l’on doit les origines de la mathématisation de la finance moderne. Il soutient en effet une thèse intitulée Théorie de la spéculation à la Sorbonne en 1900. C’est à partir de ce moment que naissent les processus stochastiques à temps continu en probabilités et les stratégies à temps continu pour la couverture de risque en finance. Influencé par cette thèse, A.N. Kolmogorov entama des recherches sur les processus à temps continu dans les années 1920. Il en fut de même pour K. Itô – l'inventeur du calcul stochastique – dans les années 1950. En revanche, en ce qui concerne la finance, l'approche de Bachelier fut oubliée durant près de trois quarts de siècle, jusqu'en 1973 avec la parution des travaux de Black, Scholes et Merton. Chapitre 1 Terminologie et contexte 1.1 Le marché La loi définit le "marché financier" comme un lieu où sont effectuées les transactions sur des actifs financiers, et de plus en plus, leur produits dérivés. L’essentiel des échanges s’effectue maintenant et ce depuis le début des années 80 principalement via ces produits (futures, forward, options, swaps,…) Les marchés financiers sont des marchées de « gros » dans les sens au l’on achète en « gros ». Les intervenants sont donc principalement des institutions financières (Banque centrale, banques, assureurs, hedge funders,…) et des sociétés. Mais on y voit aussi des particuliers. 1.2 Les options 1.2.1 Définitions et caractéristiques Une option est un produit qui donne droit à son détenteur d’acheter ou de vendre une part d’actif sous-jacent S à un prix fixé à l’avance, le prix d’exercice K, à ou avant une date fixée appelée la date de maturité T. Dans le cas des options européennes, l’option ne peut être exercée qu’à la maturité T. Dans le cas des options américaines, l’option peut être exercée à tout moment. Selon le droit d’acheter ou de vendre on a deux types d’options : 4 Les options de vente : puts Les options d’achat : calls De même, selon la nature du sous-jacent, on a plusieurs types d’options : Option sur action Option sur indice Option sur future Option sur taux de change Option sur taux d’intérêt On connaît aussi d’autres types d’options (« exotiques ») comme par exemple : Option asiatique: le “payoff”dépend de la moyenne des prix du sous-jacent pendant la durée de vie de l’option) option lookback: le “payoff”dépend du max et du min du prix du sous-jacent pendant la durée de vie de l’option option barrière: le “payoff”dépenddufranchissement d’une barrière(down- and-out, down-and-in, up-and-in, up-and-out) option binaire, option d’échange d’un actif pour un autre, options sur option, option sur plusieurs actifs... Ici nous nous concentrerons principalement sur les options vanilles et binaires. 1.2.2 Pay-offs Les pay-offs des options sont leurs valeurs à maturité. Ils sont calculés en fonction du prix du sous-jacent. 1.2.2.1 Options vanille On appelle call vanille de prix d’exercice(strike) K et d’échéance T sur un sous-jacent S donné , une option européenne dont le pay-off à l’échéance est donné par t C S K où x si x 0 x 0 sinon De même, on appelle put vanille de prix d’exercice(strike) K et d’échéance T sur un sous-jacent S donné , une option européenne dont le pay-off à l’échéance est donné par ( ) t P K S 1.2.2.2 Options binaires On appelle Call binaire de prix d’exercice(strike) K et d’échéance T sur un sous-jacent S donné , une option européenne dont le pay-off à l’échéance est donné par 5 . 1 ( ) 0 t t t si S K f S si S K = . FIG 1.1-Profil de résultat d'un call binaire de prime p, de prix d'exercice K et de flux fixé Q On appelle Put binaire de prix d’exercice(strike) K et d’échéance T sur un sous-jacent S donné , une option européenne dont le pay-off à l’échéance est donné par 1 ( ) 0 t t t si S K f S si S K . FIG 1.2-Profil de résultat d'un put binaire de prime p, de prix d'exercice K et de flux fixé Q Ces options rapportent 1€ à l’acheteur lorsque l’actif sous-jacent est à un niveau supérieur au prix d’exercice de l’option pour un call et inférieur pour un put, 0 sinon. 1.3 Evaluation des options 1.3.1 Valeur intrinsèque et valeur temps dans le cas d’un call 1.3.1.1 Valeur intrinsèque La valeur intrinsèque représente le profit qui serait réalisé par l'acheteur de l'option, si elle était exercée immédiatement. Sa valeur minimale est zéro car il est évident que personne ne songerait à exercer une option qui se traduirait par une perte . 6 1.3.1.2 La valeur temps La valeur temps est la différence entre la valeur de l'option et sa valeur intrinsèque. Elle représente la rémunération du vendeur qui accepte de prendre le risque que les prix varient en sa défaveur à une date future pendant la période optionnelle. Pour l'acheteur d'une option, la garantie d'un prix est extrêmement intéressante sur un produit à forte variation et ce d'autant plus que la durée de l'option est longue. Pour le vendeur, par contre, suspendu à la décision de l'acheteur, deux paramètres déterminent l'importance du risque encouru et influencent le calcul de la prime : La durée de vie de l'option. La volatilité du cours de l'instrument considéré représentant la fréquence et l'amplitude des variations du cours. Cette valeur temps est généralement donnée sous forme de pourcentage. 1.3.2 Variations de prix Lorsque le prix du sous-jacent augmente, le prix du call augmente et le prix du put diminue Lorsque le pris d’exercice augmente, le prix du call diminue alors que le prix du put augmente Lorsque la date de maturité augmente le call perd de la valeur et le put en prend. . FIG 1.3-Valeur intrinsèque et valeur temps Plus on se rapproche de la monnaie plus la valeur temps augmente, en revanche plus on s’éloigne plus elle diminue. 7 Chapitre2 Modèle de Black-Scholes 2.1 Le modèle 2.1.1 Présentation du modèle Le modèle de Black-Scholes est un modèle d’évaluation d’option utilisé en Mathématiques financières afin d’estimer en théorie la valeur d’une option financière du type européenne. Ce modèle, qui constitue le prolongement des travaux de Paul Samuelson et Robert Merton fut publié en 1973.Cependant, la recherche avait commencé dès 1900 avec le français Louis Bachelier. L’idée de Black et Scholes est de mettre en rapport le prix implicite de l’option et les variations de prix de l’actif sous-jacent. Le modèle de B-S-M est, à l’origine, un modèle à deux actifs : l’un risqué, l’autre pas. Dans notre modèle de marché (B, S), 0 0 ( ) ( ) t t t t B B et S S sont deux processus évoluant avec le temps t. Le processus B représente l’actif non-risqué : c’est un processus déterministe : Sa valeur à la date t ( pour un placement de 1 € à la date 0 t ) est rt t B e où r représente le taux d’intérêt de l’argent prêté, supposé à la fois constant et égal au taux de l’argent emprunté. Le processus S représente l’actif risqué. C’est un processus aléatoire (stochastique) : à chaque instantt , t S est une variable aléatoire (pour une probabilité sous-jacente P) qui prend comme valeurs les prix que l’actif peut atteindre. Ce uploads/Finance/ memoire-lettres-grecques.pdf