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Les Actions Mécaniques BTS Maintenance Industrielle CHAPITRE LES ACTIONS MECANI

Les Actions Mécaniques BTS Maintenance Industrielle CHAPITRE LES ACTIONS MECANIQUES Les ACTIONS MECANIQUES sont les causes physiques capables de : Modifier ou empêcher le mouvement d’un solide (translation et rotation) Déformer un solide Il existe deux types d’actions mécaniques : Les ACTIONS A DISTANCE (pesanteur, magnétique, électromagnétique) Les ACTIONS DE CONTACT (dans toutes les liaisons avec les solides) On distingue : La FORCE génère ou interdit un mouvement de translation Le MOMENT génère ou interdit un mouvement de rotation 1. REPRESENTATION MATHEMATIQUE DE CES ACTIONS MECANIQUES Les outils mathématiques utilisés sont le VECTEUR et le TORSEUR. 1.1. Le vecteur Force La force est modélisée par un vecteur dont les caractéristiques sont :  Point d’application  Direction  Sens  Norme, intensité, module en NEWTON Les composantes du vecteur sont les normes des projections orthogonales dans le repère. 1.2. Le vecteur Moment d’une force Le VECTEUR MOMENT est modélisé par un vecteur qui peut se déterminer par le produit vectoriel. Soit une force appliquée en un point M, et A un point quelconque de l’espace(O ,⃗ x ,⃗ y ,⃗ z). Le moment de la force ⃗ F au point A est : ⃗ M A(⃗ F)=⃗ AM ∧⃗ F Le moment est modélisé par un vecteur dont les caractéristiques sont :  Point d’application  Direction  Sens  Norme, intensité, module en NEWTON.METRE Rappel du calcul : ⃗ AM ∧⃗ F=( a b c) ∧( x y z) =( b. z−c . y −a. z+c. x a. y−b. x) =( LA M A N A) Page 1/4 IST-AC H A M Sens indirect = sens des aiguilles d’une montre Sens direct = sens inverse des aiguilles = sens trigonométrique Les Actions Mécaniques BTS Maintenance Industrielle Soit une force appliquée en un point M, et A et B deux points quelconques de l’espace (O ,⃗ x ,⃗ y ,⃗ z). ⃗ M B (⃗ F )=⃗ BM ∧⃗ F=(⃗ BA +⃗ AM )∧⃗ F=⃗ BA ∧⃗ F+⃗ AM ∧⃗ F ⃗ M B (⃗ F )=⃗ M A (⃗ F )+⃗ BA ∧⃗ F ⃗ M nouveau point (⃗ F )=⃗ M ancien point (⃗ F )+ ⃗ Nouveau point Ancien point ∧⃗ F Rappel : Les produits vectoriels sont incommutatifs. ⃗ AM ∧⃗ F≠⃗ F∧⃗ AM ⃗ AM ∧⃗ F=⃗ F∧⃗ MA Les normes des composantes autour des axes du moment peuvent aussi se déterminer par : ⃗ M A (⃗ F)=±d. F Avec F la norme de la force d la norme du bras de levier ± dépend du sens direct ou indirect dans le repère ⃗ M A (⃗ F)=−AH .F THEOREME DE VARIGNON Le moment d’une force par rapport à un point est égal à la somme des moments des composantes par rapport à ce même point. ⃗ M A (⃗ F)=⃗ AM ∧⃗ F ¿⃗ AM ∧(⃗ Fx+⃗ F y+⃗ F z) ¿⃗ AM ∧⃗ Fx+⃗ AM ∧⃗ F y+⃗ AM ∧⃗ F z ¿⃗ M A (⃗ Fx)+⃗ M A (⃗ F y)+⃗ M A (⃗ F z) 1.3. Force et moment résultants On appelle FORCE RESULTANTE la somme vectorielle des forces considérées. On appelle MOMENT RESULTANT la somme des moments considérés en un même point. Il est nécessaire d’exprimer tous les moments au même point. Page 2/4 IST-AC Les Actions Mécaniques BTS Maintenance Industrielle 2. LE TORSEUR D’ACTION MECANIQUE Nous avons vu comment modéliser les actions mécaniques sous forme vectorielle : force et moment. L’action en un point peut être une force, un moment ou une force et un moment. Il est possible surtout lorsque l’on travaille dans l’espace de les écrire sous forme tensorielle. Un TORSEUR D’ACTION MECANIQUE est l’expression du couple vecteur-force et vecteur-moment. Soit un point A où s’exercent une force notée ⃗ A0/1 et un moment noté ⃗ M A(⃗ A0/1), le torseur au point A dans le repère (O ,⃗ x ,⃗ y ,⃗ z) s’écrit : {τ0/1}A={ ⃗ A0/1 ⃗ M A(⃗ A0/ 1)}A ={ X A LA Y A M A Z A N A} A Les vecteurs force et moment sont les éléments de réduction du torseur au point A. 2.1. Ecriture d’un torseur en un point L’écriture d’un torseur exprimé au point A en un nouveau point B devient : {τ0/1}B={ ⃗ A0/1 ⃗ M B(⃗ A0/1)=⃗ M A(⃗ A0/1)+⃗ BA ∧⃗ A0/1}B On dit que l’écriture au point B est statiquement équivalente à celle du point A. Elle ne modifie pas l’équilibre, ni le mouvement. On remarquera que la force est invariable. Lorsqu’on écrit un torseur d’un point à un autre, on parle de DEPLACEMENT, de TRANSPORT, de TRANSFERT du torseur. 2.2. Opération avec les torseurs 2.2.1. Somme des torseurs (ou torseur résultant) Elle n’est possible que si les torseurs sont exprimés au même point. { ⃗ A ⃗ M A}A et{ ⃗ B ⃗ M B}B {τΣ}A={ ⃗ A ⃗ M A}A +{ ⃗ B ⃗ M A '=⃗ M B+⃗ AB∧⃗ B}A ={ ⃗ A+⃗ B ⃗ M A+⃗ M A '}A 2.2.2. Multiplication par un scalaire Multiplier un torseur par un scalaire revient à en multiplier chacun de ses éléments de réduction donc chacune de ses composantes par ce scalaire. α .{ ⃗ A ⃗ M A}A ={ α .⃗ A α .⃗ M A}A ={ α . X α . L α .Y α . M α .Z α .N} A 2.2.3. Egalité de deux torseurs Page 3/4 IST-AC Les Actions Mécaniques BTS Maintenance Industrielle Deux torseurs sont égaux s’ils ont les mêmes éléments de réduction en tout point. {T 1}+{T 2}=0⇒{T 1}=−{T2} Page 4/4 IST-AC Les Actions Mécaniques BTS Maintenance Industrielle 2.3. Torseurs particuliers 2.3.1. Torseur nul Le torseur nul a ses deux éléments de réduction nuls. Il est le même en tout point. {0 }={ ⃗ 0 ⃗ 0} 2.3.2. Torseur couple Le torseur couple possède une force nulle. Il est le même en tout point. {⃗ C }A={ ⃗ 0 ⃗ M A0/1}A ={ ⃗ 0 ⃗ M B0/1=⃗ M A 0/1+⃗ BA ∧⃗ 0 ⏟ ¿⃗ 0 } B ={ ⃗ 0 ⃗ M B0/1}B 2.3.3. Torseur glisseur Le torseur glisseur possède un moment nul. {⃗ G}A={⃗ A0/1 ⃗ 0 } A Si le point B se situe sur la direction de la force, il reste invariant. { ⃗ A0/1 ⃗ M B0/1=⃗ M A0/1+⃗ BA ∧⃗ A0/1 ⏟ ¿ ⃗ 0 } B ={⃗ A0/1 ⃗ 0 } B Car ⃗ BA et ⃗ A0/1 sont colinéaires. Page 5/4 IST-AC uploads/Finance/ 2-actions-mecaniques.pdf