Frédéric Legrand Licence Creative Commons 1 Interférences à N ondes 1. Superpos

Frédéric Legrand Licence Creative Commons 1 Interférences à N ondes 1. Superposition et interférence d'ondes quasi-monochromatiques 1.a. Cas général Nous avons vu dans le chapitre Ondes lumineuses et interférences les conditions d'ob- tention des interférences lors de la superposition de deux ondes quasi-monochromatiques. Nous reprenons ces conditions pour les N ondes : ▷Les N ondes sont de même fréquence et sont cohérentes. ▷La diérence de marche entre ces ondes est petite devant la longueur de cohérence. ▷Les intensités de ces ondes sont égales. En pratique, cette dernière condition peut être approximative, mais nous l'adopterons pour simpli er les calculs. Les deux premières hypothèses permettent de calculer l'am- plitude complexe des ondes en les considérant comme parfaitement monochromatiques. On considère la superposition en un point de l'espace de N ondes lumineuses mono- chromatiques, désignées par un indice m variant de 0 à N −1. On note φm le déphasage de l'onde m par rapport à l'une d'entre elle, par exemple m = 0. L'amplitude complexe de la superposition de ces N ondes est : A = A0 N−1 X m=0 eiφm (1) L'intensité au point considéré est : I = 1 2AA∗ (2) En introduisant l'intensité I0 de chacune des ondes, on obtient : I = I0 N−1 X m=0 eiφm ! N−1 X m=0 e−iφm ! (3) Lorsque toutes les ondes sont en phase, on a une interférence constructive. La somme est alors égale à N et l'intensité est N 2I0. On peut mettre cette intensité maximale en facteur : I = N 2I0 1 N N−1 X m=0 eiφm ! 1 N N−1 X m=0 e−iφm ! (4) On pourra donc calculer la somme complexe suivante : A = 1 N N−1 X m=0 eiφm (5) dont le module au carré est l'intensité normalisée, qui varie entre 0 et 1. Frédéric Legrand Licence Creative Commons 2 1.b. Phases en progression arithmétique Un cas très fréquent est celui où les phases sont en progression arithmétique : φm = mφ (6) où φ est la diérence de phase entre l'onde m et l'onde m + 1. La somme à calculer et alors la somme d'une série géométrique : A(φ) = 1 N N−1 X m=0 (eiφ)m (7) La condition d'interférence constructive est φ = 2πp (8) où p est un entier (l'ordre d'interférence). On a alors A(2πp) = 1 (9) Lorsque la condition d'interférence constructive n'est pas véri ée, on peut simpli er la somme : A(φ) = 1 N 1 −eiNφ 1 −eiφ (10) La factorisation suivante simpli era le calcul de l'intensité : A(φ) = eiN φ 2 ei φ 2 1 N e−iN φ 2 −eiN φ 2 e−i φ 2 −ei φ 2 (11) On obtient ainsi : A(φ) = e−i(N−1) φ 2 sin N φ 2
N sin φ 2
(12) On obtient nalement l'intensité (divisée par sa valeur maximale) : I(φ) = AA∗= sin N φ 2
N sin φ 2
!2 (13) ▷Exercice : Avec N = 2, retrouver la formule de Fresnel pour l'interférence de deux ondes. Voir Interférences à N ondes pour le tracé lorsque N < 20. La fonction obtenue a une période 2π. Lorsque φ = 2πp (14) elle vaut 1 (on la prolonge par continuité). Voyons un tracé en fonction de l'ordre d'in- terférence. Frédéric Legrand Licence Creative Commons 3 import numpy from matplotlib.pyplot import * def I(N,p): phi = 2*numpy.pi*p A = numpy.sin(N*phi/2)/(N*numpy.sin(phi/2)) return A*A p = numpy.linspace(-3,3,1000) I1 = I(10,p) figure(figsize=(12,5)) plot(p,I1,label='N = 10') xlabel('p') ylabel('I/Imax') legend(loc='upper right') axis([-3,3,0,1]) grid() 3 2 1 0 1 2 3 p 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 I/Imax N = 10 Pour un N plus grand : I2 = I(20,p) figure(figsize=(12,5)) plot(p,I2,label='N = 20') xlabel('p') ylabel('I/Imax') legend(loc='upper right') axis([-3,3,0,1]) grid() Frédéric Legrand Licence Creative Commons 4 3 2 1 0 1 2 3 p 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 I/Imax N = 20 La courbe présente des maxima principaux correspondant à la condition d'interférence constructive. Il y a aussi des maxima secondaires d'intensité beaucoup plus faible, qui deviennent complètement négligeables lorsque N est grand. Voyons en détail l'intensité au voisinage d'une interférence constructive : figure() plot(p,I1,'b',label='N = 10') plot(p,I2,'r',label='N = 20') xlabel('p') ylabel('I/Imax') legend(loc='upper right') axis([-0.5,0.5,0,1]) grid() 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 p 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 I/Imax N = 10 N = 20 Frédéric Legrand Licence Creative Commons 5 Le maximum principal a une largeur d'autant plus petite que N est grand. On peut calculer sa largeur en se servant des deux valeurs nulles de part et d'autre du maximum, qui sont obtenues pour : N φ 2 = ±π (15) ce qui donne la largeur en terme d'ordre d'interférence : ∆p = 2 N (16) Lorsque N est grand, l'interférence à N ondes est très sélective. C'est seulement au voisinage des conditions d'interférence constructive (p entier) que l'intensité est non nulle. La largeur de ces maxima d'intensité est de l'ordre de 1/N. La sélectivité de l'interférence à N ondes est une propriété très importante, qui ex- plique l'intérêt qu'on porte à ce type d'interférences. Supposons par exemple que l'on fasse l'interférence à N ondes avec deux longueurs d'onde très voisines λ1 et λ2. Ces deux longueurs d'onde sont incohérentes et produisent chacune leur courbe d'intensité. Pour faire apparaître l'in uence de la longueur d'onde, on doit écrire : φ1 = 2π λ1 λ1p (17) φ2 = 2π λ2 λ1p (18) Dans ces expressions, l'ordre d'interférence est dé ni par rapport à la première longueur d'onde. À l'ordre p = 0, les deux maxima coïncident. Voyons les deux courbes d'intensité au voisinage de l'ordre 1. def I(N,Lambda1,Lambda,p): phi = 2*numpy.pi/Lambda*Lambda1*p A = numpy.sin(N*phi/2)/(N*numpy.sin(phi/2)) return A*A figure() Lambda1 = 500.0 Lambda2 = 510.0 N=100 p = numpy.linspace(0.9,1.1,500) I1 = I(N,Lambda1,Lambda1,p) I2 = I(N,Lambda1,Lambda2,p) plot(p,I1,label="Lambda = 500 nm") plot(p,I2,label="Lambda = 510 nm") xlabel("p") ylabel("I/Imax") title("N = %d"%N) legend(loc='upper left') grid() Frédéric Legrand Licence Creative Commons 6 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 p 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 I/Imax N = 100 Lambda = 500 nm Lambda = 510 nm On voit qu'il est possible de séparer des longueurs d'onde très proches si N est assez grand. Frédéric Legrand Licence Creative Commons 7 2. Réseau de diraction 2.a. Réseau de fentes Le réseau de diraction est couramment utilisé en spectroscopie. On peut se repré- senter un réseau de diraction comme un réseau de fentes, formé de N fentes percées sur un écran opaque. On note a la période, c'est-à-dire la distance entre deux fentes. x a y La période est souvent donnée par le nombre de traits par millimètres, qui peut aller de 100 à 2000 traits par millimètres. L'espacement a est donc de l'ordre du micromètre. Lorsque le réseau est éclairé sur une zone d'environ 1 cm de large, cela fait un nombre N de fentes de plusieurs milliers. ▷Exercice : Un réseau pour la spectroscopie haute résolution a 1000 traits par milli- mètre. Il est utilisé sur une largeur de 3 cm. Calculer a et N. 2.b. Montage optique Un spectroscope à réseau comporte un collimateur, le réseau, et une lunette d'observa- tion. Le collimateur est constitué d'une fente F très ne placée juste devant la lampe, et d'une lentille convergente qui forme l'image de cette fente à l'in ni. Le réseau est éclairé par le faisceau collimaté, avec ses fentes parallèles à la fente F. L'axe de la lunette est orienté dans la direction que l'on souhaite observer. L'oculaire permet à l'observateur de regarder le plan focal image de l'objectif. Les rayons parallèles entrant dans la lunette convergent dans ce plan. Cela revient à observer les interférences à l'in ni. Frédéric Legrand Licence Creative Commons 8 Fente Réseau Collimateur Lunette Objectif oculaire Plan image x z L'ensemble est monté sur un goniomètre, qui permet de mesurer les angles de rotation de la lunette. Dans le plan image, il a deux ls tendus qui forment un réticule. Le réglage du spectroscope se fait de la manière suivante : ▷Réglage de l'oculaire pour voir net le réticule. ▷Réglage de la lunette à l'in ni par la méthode d'autocollimation (avec un miroir plan). Pour cela, la lunette est munie d'un rétroéclairage. ▷La lunette étant dans l'axe du collimateur, réglage de celui-ci. L'image de la fente doit être nette dans le plan image. Lorsque le réglage est fait, un utilisateur peut toujours modi er le réglage de l'oculaire à sa convenance. 2.c. Déphasage et interférences constructives On se place en projection sur le plan XZ. Les fentes du réseau et la fente F sont perpendiculaires à ce plan, dans la direction Y . En projection sur le plan XZ, les rayons qui éclairent le réseau sont tous parallèles. On suppose dans un premier temps qu'ils rencontrent le réseau perpendiculairement (en incidence normale), comme représenté sur la gure ci-dessous. On peut assimiler chaque fente à une source ponctuelle en phase avec l'onde incidente. Les N fentes constituent N sources secondaires cohérentes, en phase puisque les rayons sont en incidence normale. Soit un point M uploads/Finance/ internondes2-pdf.pdf

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• Publié le Sep 08, 2022
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
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