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Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financièr

Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financières Chapitre 1: Calcul des intérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les notions suivantes :  Intérêt  Taux d’intérêt nominal  Taux d’intérêt périodique  Valeur acquise  Valeur actuelle  Capitalisation Le lecteur apprendra à:  Calculer la valeur acquise par un capital placé durant une période à un taux d’intérêt nominal donné;  Calculer la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés durant plusieurs périodes; Ce chapitre se divise en 5 sections: Calcul des intérêts Prêt sur une période d’intérêt Notation des actuaires et notation mathématique Valeur acquise et valeur actuelle à intérêt composé Valeur acquise après un nombre non-entier de périodes Un fichier Excel est préparé pour faire des calculs relatifs aux problèmes. Cliquer ici pour aller chercher ce fichier. Accès à une série de problèmes sur le chapitre 1. Retour au plan de cours  Écoles des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 2009. 1 Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financières Section 1.1 : Calcul des intérêts Définitions : 1- Intérêt : coût de location de l’argent pour avoir le droit d’utiliser (jouir de) l’argent pendant un temps donné. 2- Dates d’intérêt : dates où les intérêts sont versés. 3- Période d’intérêt : période entre 2 dates d’intérêt. Ex. : On emprunte 1000$ le 1er mars 2001 1- Si on rembourse 1100$ le 1er mars 2002  Intérêt = 100$  Date d’intérêt = 1er mars 2002  Période d’intérêt = 1an 2- Si on paye 50$ le 1er septembre 2001 pour pouvoir poursuivre l’emprunt et qu’on rembourse 1050$ le 1er mars 2002  Dates d’intérêt = 1er septembre 2001 et 1er mars 2002  2 périodes de 6 mois Un prêt qui s’étend sur plusieurs périodes peut-être vu comme une suite de prêts, chacun étant sur une seule période : Ex. : Emprunter 1000$ le 1er mars 2001, puis 1- Payer 50$ le 1er septembre 2001 et 1050$ le 1er mars 2002; ou rembourser 1050$ puis emprunter 1000$ au 1er septembre 2001 et rembourser 1050$ au 1er mars 2002. 2- Rembourser 0$ le 1er septembre 2001 et 1102,50$ le 1er mars 2002. Définition : Le fait d'additionner les intérêts à la dette porte le nom de capitalisation des intérêts. Chapitre 1 Section suivante Auto-évaluation 1.1  Écoles des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 2009. 2 Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financières Section 1.2 : Prêts sur une période d’intérêt Remarque : On emprunte 100$, sur lesquels on doit rembourser 0,04$ par dollar emprunté tous les 6 mois 1- Après 6 mois, on doit 104$ soit 100$ + 100 * 0,04 2- Après 12 mois, on doit 108,16$ soit 104$ + 104 * 0,04 (si on ne paie pas le premier intérêt de 4$) Taux d’intérêt = 8% capitalisé 2 fois par an. Définitions : 1- Taux d’intérêt nominal = c’est le taux d’intérêt annuel j nommé par une institution, lorsque ce taux ne tient pas compte de la capitalisation des intérêts. Dans l’exemple précédent, 8% est un taux nominal. 2- Taux d’intérêt périodique = le nombre i tel que i $ soit le montant d’intérêt crédité à la fin d’une période pour un prêt (emprunt) de 1$ effectué au début de la période, i= lorsqu’il y a m capitalisations par année. Dans l’exemple précédent, le taux périodique est de 4%. On pourrait aussi avoir : Taux périodique = Définitions : 1- Capital = le montant d’argent prêté (ou emprunté) 2- Valeur acquise = capital + intérêts 3- Capitalisation = le fait d’additionner les intérêts au capital pour produire de l’intérêt. On parlera de taux j capitalisé soit mensuellement, trimestriellement, semestriellement, etc.  Écoles des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 2009. 3 Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financières Ex. : (Voir plus haut) Capital = 100$ Valeur acquise en 1 an = 108,16$ Formule fondamentale des intérêts simples : Si 1$ rapporte i $ en intérêts en 1 période, la valeur acquise par un capital de M$ en une période sera de M*(1+i) ou M*(1+dj) où d = longueur de la période en années et j = taux d’intérêt nominal. NOTE : Si on emprunte (dépose) un montant A d’une (dans une) institution financière et si on rembourse (recueille) un montant B après n périodes de capitalisation de l’intérêt alors la différence B – A est l’intérêt payé (gagné) pendant ces n périodes de capitalisation si aucun intérêt n’a été payé (prélevé) entre temps. Ex. : Si le taux nominal est de 24% et qu’il y a 12 capitalisations par année, quel est l’intérêt payé pour un prêt de 1000$ pendant un mois? Solution : S’il y a 12 capitalisations par an, le taux par mois est de 24%/12 = 2%. Chaque dollar emprunté occasionnera 0,02$ d’intérêt par mois. Puisqu’il y a 1000$ d’empruntés, il y aura un intérêt de 20$ à payer à la fin du mois. C hapitre 1 Section suivante Auto-évaluation 1.2  Écoles des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 2009. 4 Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financières Section 1.3 : Notation des actuaires et notation mathématique Pour calculer la longueur d de la période, il y a deux possibilités : 1- Utiliser les fonctions calendrier d'Excel On peut entrer une date dans une cellule d’Excel. Il faut alors s’assurer que le format de la cellule correspond bien au format de date désiré. On peut pour cela utiliser la fonction DATE() d’Excel. On peut faire des soustractions de dates dans Excel. Il faut alors s’assurer que le format de la cellule correspond bien à un format numérique. (Voir fichier Excel, p. Calcul de d) 2- Un mois = un douzième d’année Tout au long de ce cours, nous conviendrons que chaque mois a une durée de 1/12 d’année. Notation : On note par jm ou (j, m) le taux nominal lorsqu’il y a m capitalisations de l’intérêt dans une année. On peut dresser le tableau suivant des périodes les plus courantes : Périodicité des intérêts Durée d’une période (d) Nombre de périodes en 1 an Taux périodique Mensuelle d =1/12 m = 12 i = j/12 Trimestrielle d =1/4 m = 4 i = j/4 Semestrielle d =1/2 m = 2 i = j/2 Annuelle d =1 m = 1 i = j Ex. : Quel est le taux d’intérêt périodique si j4 = (j, 4) = 12 % ? La durée d’une période est ¼ d’année. Le taux d’intérêt périodique est donc 12%/4 = 3%. Quel est le taux d’intérêt nominal correspondant à un taux d’intérêt par mois de 1,75 % Il y a 12 périodes dans l’année. Donc j12 =(j, 12) = 12*1,75% = 21 % Chapitre 1 Section suivante Auto-évaluation 1.3  Écoles des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 2009. 5 Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financières Section 1.4 : Valeur acquise et valeur actuelle à intérêts composés Lorsque les intérêts sont additionnés au capital pour la période suivante, on parle d’intérêts composés. Pour calculer la valeur acquise par un capital M pendant n périodes au taux i, il suffit de faire le calcul :  . La notation couramment utilisée est la suivante : FV = «Future Value» = Valeur acquise = VC (dans EXCEL) PV = «Present Value» = Valeur actuelle = VA (dans EXCEL) . Ou VC=VA(1+I)n. Ex. : Quelle est la valeur acquise par 100$ en 4 ans au taux de 8% capitalisé semestriellement ? Solution : j2 = 8% d’où le taux d’intérêt périodique par semestre i = = 4% 4 ans = 8 semestres soit 8 périodes . La fonction financière EXCEL VC (pour Valeur Cumulée) permet d’effectuer plus facilement ce calcul. Pour y accéder, on commence par cliquer avec le bouton gauche de la souris sur l’icône fx dans la barre d’outils standard. Puis on sélectionne dans la catégorie de fonctions Finances la fonction VC. Il y a 5 paramètres pour utiliser cette fonction. Les 3 premiers sont obligatoires et les 2 derniers sont facultatifs. Nous verrons leur utilisation dans des chapitres ultérieurs. L’appel de la fonction VC se fait comme suit : VC(i, n, PMT, PV, Type) où i Taux périodique n Nombre de périodes PMT Mettre 0 ou laisser en blanc  Écoles des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 2009. 6 VC = VA (1+i)n FV = PV (1+i)n Chapitre 1 : Calcul des intérêts et comparaison de taux Mathématiques financières PV Valeur actuelle Type Facultatif (laisser en blanc ou mettre 0) Ex. : Reprenons l’exemple précédent : Quelle est la valeur acquise par 100$ en 4 ans au taux de 8% capitalisé semestriellement ? Solution : Il suffit d’utiliser la fonction VC(4%, 8, 0, 100, 0) et Excel donnera une valeur de –136,86$. Le signe négatif s’explique par le fait que l’argent «voyagera» dans le sens opposé. Il faut déposer 100$ pour pouvoir retirer uploads/Finance/ hec-canada-chapitre1.pdf