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Exercice avec solution Exemple On désire refroidir jusqu’à 30°C, au moyen d’un

Exercice avec solution Exemple On désire refroidir jusqu’à 30°C, au moyen d’un échangeur à contre-courant, une huile dont la température initiale est de 110°C, le débit massique de 5.000 kg/heure, et la chaleur massique de 2.100 J/(kg.°C). Le fluide de refroidissement utilisé sera de l’eau entrant dans l’appareil à 12°C, avec un débit massique de 12.000 kg/heure. Déterminer la surface d’échange nécessaire et la température de sortie de l’eau. • Côté huile : Les propriétés physiques de cette huile sont rassemblées dans la table suivante: température moyenne Tcm °C masse volumique  kg/m3 Viscosité Dynamique  kg/(m.s) Chaleur massique Cp J/(kg.°C) Conductivité Thermique  W/(m2.°C) 70 845 0,0080 2260 0,18 • Côté eau: Les propriétés physiques de l’eau sont rassemblées dans la table suivante: température moyenne Tcm °C masse volumique  kg/m3 Viscosité Dynamique  kg/(m.s) Chaleur massique Cp J/(kg.°C) Conductivité Thermique  W/(m2.°C) 20 998 95.10-5 2450 0,62 Comme on a choisi pour le tube central: di = 25 mm, on aura: de = 30 mm Un tube externe de 40 mm de diamètre conduit aux valeurs suivantes: R P 0,023 = N 0,8 e 3 1 r u Calcul de la puissance thermique échangée On peut immédiatement faire le bilan enthalpique de l’huile, entre l’entrée et la sortie. La puissance thermique cédée par l’huile est: ( ) ( )  = m C T - T = 5000 3600 2100 110 - 30 233 kW c pc ce cs  = On admet que cette puissance est intégralement récupérée par le fluide de refroidissement ( Hypothèse de l’échangeur sans pertes), d’où le bilan enthalpique de l’eau: ( ) ( )  = m C T - T = 12000 3600 4180 T - 12 233 kW f pf fs fe fs  = Calcul de la température de sortie Tfs de l’eau De la relation ci-dessus, on déduit la température de sortie Tfs de l’eau: T = 12 + 233333 . 3600 12000 . 4180 = 28,7 C fs  Calcul de la différence de température logarithmique moyenne On peut alors calculer la différence de température logarithmique moyenne TLM entre les deux fluides (DTLM) : T = T - T T T LM 2 1 2 1      Log relation où :   T T T = 110 - 28,7 = 81,3 C et T = T - T = 30 - 12 = 18 C 1 ce fs 2 cs fe = −   On obtient donc:      T = T - T T T = 18 - 81,3 Log 18 81,3 = 42 C LM 2 1 2 1 Log  La puissance thermique  de l’échangeur est liée à TLM par la relation:   = k S T LM Seul le produit kS est donc connu. Il a pour valeur: kS = 233.333 W 42 C = 5.558 W/ C   L’optimisation de l’échangeur va consister à définir le compromis entre l’encombrement, les conditions hydrauliques et les performances thermiques. Calcul des coefficients de transmission thermique • Côté huile : Les propriétés physiques de cette huile sont rassemblées dans la table suivante: température moyenne Tcm °C masse volumique  kg/m3 Viscosité Dynamique  kg/(m.s) Chaleur massique Cp J/(kg.°C) Conductivité Thermique  W/(m2.°C) 70 845 0,0080 2260 0,18 1) On évalue le Nombre de PRANDTL de l’huile, à partir de ses propriétés physiques: Pr = C = 0,008 . 2260 0,18 100,4 p   = 2) On fait a priori le choix de la disposition constructive la plus simple: un échangeur « double tube » à contre-courant : 2) Le débit volumique d’huile a pour valeur: Q = m = 5000 3600 1 845 = 0,00164 m / s c 3   3) Etudions la variation du Nombre de REYNOLDS de l’écoulement dans le tube central, en fonction du diamètre intérieur Di de ce tube: R = U D e h   Di (m) S (m2) U (m/s) Re 0.015 0.020 0.025 0.050 0.100 0.00018 0.00031 0.00049 0.00196 0.00785 9.28 5.22 3.34 0.84 0.21 14704 11028 8822 4411 2206 L’examen du tableau ci-dessus montre que le choix d’un échangeur « double tube » est pertinent; en effet, avec un tube de diamètre intérieur Di = 25 mm, on obtiendra le débit désiré au prix d’une vitesse U = 3,34 m/s tout-à-fait acceptable. L’écoulement est turbulent, avec un Nombre de Reynolds : Re = 8 822 4) La connaissance des Nombres de PRANDTL et de REYNOLDS permet alors de calculer le Nombre de NUSSELT: Nu = h D c h  de l’écoulement dans ce tube, à partir de la formule de COLBURN: ( ) ( ) 153 = 8822 100,4 0,023 = R P 0,023 = N 8 , 0 3 1 0,8 e 3 1 r u Le coefficient d’échange par convection entre l’huile et la paroi du tube dans laquelle cette huile s’écoule est donc: h = N D = 0,18 . 153 0,025 = 1102 W / (m . C) c u h 2   • Côté eau: Les propriétés physiques de l’eau sont rassemblées dans la table suivante: température moyenne Tcm °C masse volumique  kg/m3 Viscosité Dynamique  kg/(m.s) Chaleur massique Cp J/(kg.°C) Conductivité Thermique  W/(m2.°C) 20 998 95.10-5 2450 0,62 5) On évalue le Nombre de PRANDTL de l’eau, à partir de ses propriétés physiques: Pr = C = 95.10 . 2450 0,62 3,75 p -5   = 6) Le débit volumique d’eau a pour valeur: Q = m = 12000 3600 1 998 = 0,00334 m / s c f 3   7) Etudions la variation du Nombre de REYNOLDS de l’écoulement d’eau dans l’espace annulaire, en fonction du diamètre intérieur De du tube extérieur. R = U D e h   Dh est le diamètre hydraulique de la section droite de la veine d’eau: ( ) ( ) ( ) D = 4 R 4 section de passage périmètre mouillé = 4 4 D - d D + d = 1 2 D - d h H i 2 e 2 i e i e =   2 où Di est le diamètre intérieur du gros tube (extérieur), et de le diamètre extérieur du petit tube (intérieur): Comme on a choisi pour le tube central: di = 25 mm, on aura: de = 30 mm Un tube externe de 40 mm de diamètre conduit aux valeurs suivantes: ( ) Section de passage = 4 D - d = 0,0022 m i 2 e 2 2  ( ) Diamètre hydraulique = 12 D - d = 0,0050 m i e Vitesse moyenne = Q / Section de passage = 1,52 m / s f Nombre de Reynolds = U D = 7978 f h f   L’examen des valeurs ci-dessus confirme que le choix d’un échangeur « double tube » est pertinent; en effet, avec un tube externe de diamètre intérieur Di = 40 mm, on obtiendra le débit désiré au prix d’une vitesse U = 1,52 m/s tout-à-fait acceptable. L’écoulement est turbulent, avec un Nombre de Reynolds : Re = 7 978 8) La connaissance des Nombres de PRANDTL et de REYNOLDS permet alors de calculer le Nombre de NUSSELT: Nu = h D f h  de l’écoulement dans ce tube, à partir de la formule de COLBURN: ( ) ( ) N = 0,023 P R = 0,023 3,75 7978 = 47,3 u r 13 e 0,8 13 0 8 , Le coefficient d’échange par convection entre l’eau et la paroi du tube dans laquelle l’huile s’écoule est donc: h = N D = 0,62 . 47,3 0,0050 = 5865 W / (m . C) f u h 2   9) La paroi du tube central (25 mm/30 mm) a une épaisseur e = 2,5 mm. Ce tube est en acier ordinaire de conductivité thermique  = 46 W/(m.°C), d’où un coefficient de conduction: e = 0,0025 46 0,54 . 10 m C / W -4 2  =  . Calcul du coefficient global d’échange k La surface d’échange S est unique, que l’on regarde côté huile ou côté eau. C’est la surface latérale du tube interne. Il faut tenir compte de résistances d’encrassement sur chacune des deux parois du tube intérieur. Nous prendrons: R = R = 2.10 m C / W ef ec -4 2. Le coefficient global d’échange k est alors donné par la relation: k = 1 h + R + e + 1 h + R c ec f ef 1  soit: k = 1 1 1102 2.10 + 0,54.10 + 2.10 -4 -4 -4 + + = + + + + 1 5865 1 0 00091 0 00020 0 00054 0 00071 0 00020 , , , , , Il apparaît que les 5 résistances thermiques qui interviennent en série sont toutes du même ordre de grandeur: on ne peut en négliger aucune. En achevant uploads/Finance/ exo-echangeur-h.pdf