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Universit´ e Hassan II Casablanca Ann´ ee universitaire 2016 - 2017 Facult´ e d

Universit´ e Hassan II Casablanca Ann´ ee universitaire 2016 - 2017 Facult´ e des Sciences et Techniques Module MA54 : LST MA D´ epartement de Math´ ematiques Pr. Belmaati Contrˆ ole de statistique de la d´ ecision Dur´ ee : 2 heures Exercice 1 (5 points) Dans une population de 10000 entreprises, r´ eparties en 5000 petites entreprises, 3000 moyennes entreprises et 2000 grandes entreprises, on souhaite avoir un ´ echantillon de 500 entreprises. 1. Proposer une technique pour s´ electionner cet ´ echantillon. Justiﬁer votre r´ eponse. 2. Pr´ eciser la r´ epartition de l’´ echantillon selon la technique choisie. Exercice 2 (11 points) Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle de loi de Bernoulli de param` etre θ, avec 0 < θ < 1. Et (X1, . . . , XN) un ´ echantillon al´ eatoire relatif ` a une variable al´ eatoire X. 1. D´ eterminer un estimateur de θ par la m´ ethode des moments. 2. V´ eriﬁer qu’il est sans biais, convergent et eﬃcace. 3. D´ eterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ. 4. On propose ˆ V = ¯ X(1 −¯ X) comme estimateur de la variance θ(1 −θ). Etudier le biais de cet estimateur et ´ etablir la loi asymptotique de √n( ˆ V −θ(1 −θ)). 5. Corriger l’estimateur ˆ V pour proposer un nouvel estimateur ˆ V ′ de θ(1 −θ) qui est sans biais. 6. On suppose que la variance de √n( ˆ V −θ(1 −θ)) est σ2. Construire, en fonction de σ, un intervalle de conﬁance de niveau 1 −α pour θ(1 −θ). Exercice 3 (4 points) Une usine fabrique des cˆ ables. La masse maximale en tonnes support´ ee par un cˆ able est une variable X suivant une loi Normale de moyenne µ inconnue et d’´ ecart-type ´ egal ` a 0.5. Une ´ etude portant sur un ´ echantillon de 49 cˆ ables a donn´ e une moyenne des charges maximales support´ ees ´ egales ` a 12.2 tonnes. 1. D´ eterminer un intervalle de conﬁance pour la moyenne µ au niveau 99%. 2. D´ eterminer la taille minimale de l’´ echantillon ´ etudi´ e pour que la longueur de l’in- tervalle de conﬁance au niveau 99% soit inf´ erieure ou ´ egale ` a 0.2. 1 uploads/Finance/ controle-lst-ma-16-17.pdf