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Mémoire de processus stochastique II REPUBLIQUE DE CÔTE D’IVOIRE Union Discipli

Mémoire de processus stochastique II REPUBLIQUE DE CÔTE D’IVOIRE Union Discipline Travail **************** Ministère de l’Enseignement Supérieur **************** Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d’Economie Appliquée d’Abidjan (E.N.S.E.A) Abidjan-Côte d’Ivoire S St to oc ck k p pr ri ic ce e a an nd d t th he e g ge eo om me et tr ri ic ca al l B Br ro ow wn ni ia an n M Mo ot ti io on n A A s si im mu ul la at ti io on n U Us si in ng g M Mo on nt te e C Ca ar rl lo o m me et th ho od d Présenté par: BEASSOUM Christian NKONDJE Alex NKUIYA Bruno TSIENGENY Jocelyn WOUNANG Romain Elèves Ingénieurs Statisticiens Economistes (3e année) Sous la direction de: BASS Chitou, Ph.D. Enseignant à l’ENSEA -Juin 2006- I. Introduction : Présentation du problème Dans un modèle stochastique, les prix des actifs sont représentés comme la solution d’une équation différentielle stochastique. Le problème essentiel posé les mathématiques financières est d’évaluer les produits dérivés sur ces actifs. Dans la plupart des cas, le payoff de ces produits est donné par une fonction de l’actif sous-jacent à une (ou des) date(s) future(s). Le prix, dans un modèle complet, est alors l’espérance sous l’unique probabilité risque neutre du payoff actualisé. L’intérêt numérique est donc de calculer cette espérance de la manière la plus efficace et la plus rapide possible. Il existe de nombreux types de méthodes pour cela : – Ces espérances peuvent à l’aide de la formule de Feynman-Kac s’écrire comme les solutions d’équations aux dérivées partielles. Ainsi, on peut utiliser les méthodes existantes de type éléments finis ou différences finies. – Il existe également les méthodes dites d’arbre, qui consistent à approcher la solution de l’équation différentielle stochastique par une chaîne de Markov discrète. – Enfin, les méthodes de Monte Carlo sur lesquelles nous nous concentrerons. Ces méthodes nécessitent de savoir simuler l’EDS du sous-jacent Ce mémoire est divisé en cinq sections principales. La première section pose le problème à résoudre, la deuxième section analyse la relation entre le Prix d’une action et Mouvement brownien géométrique, la troisième section présente la méthode de Monte Carlo. Les quatrième et la cinquième sections présentent respectivement un cas pratique et le programme de simulation sur VBA. II. Prix d’une action et Mouvement brownien géométrique Afin de décrire le prix du titre sous-jacent, nous allons définir un processus stochastique particulièrement important qui constitue la base de la construction de la plupart des modèles financiers. Ce processus est nommé le mouvement brownien. On appelle mouvement brownien standard un processus stochastique ( ) B t , 0 t ≥ à valeurs réelles, qui est un processus gaussien a accroissements indépendants et stationnaires dont les trajectoires sont continues. Ces propriétés ont la signification suivante : Continuité : la trajectoire ( ) s B s → , vue comme fonction du temps, est une fonction continue. Indépendance des accroissements : si ( ) ( ) , s t B t B s ≤ − est indépendant de ( ), B u u s ≤ Stationnarité des accroissements : si s t ≤ , la loi de ( ) ( ) B t B s − est identique celle de ( ) ( ) 0 B t s B − − Loi du processus : ( ) ( ) B t B s − est une variable aléatoire normale de moyenne 0 et de variance t s −, t s ∀≥ La compréhension du concept d'équation différentielle stochastique est importante puisque cette dernière est utilisée pour décrire l'évolution temporelle du prix ( ) S t . Afin de définir une trajectoire déterministe, comme par exemple la trajectoire d'une fusée qui est lancée dans l'espace, nous avons besoin d'une équation différentielle ordinaire. Par contre, pour définir le caractère aléatoire de la trajectoire du prix, nous devons introduire la notion d'intégrale stochastique appelé intégrale d'Itô : Soit 0 1 n t t t < < < " et ( ) 1 max i i t t + ∆= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 1 0 lim n t i i i t f t dB t f t B t B t + ∆→ = − ∫ L'intégrale est bien définie si la limite existe. Considérons l'équation intégrale ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , 0 n n t t t t a X t t dt b X t t dB t X t X + = − ∫ ∫ Pour des fonctions de 2 variables. Par abus de notation, nous disons que cette équation intégrale est équivalente a l'équation différentielle stochastique ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , dX t a X t t dt b X t t dB t = + Disons ici, sans en faire la preuve, qu'il existe des conditions sur les fonctions a et b pour qu'il y ait une solution unique a l'équation. On dit alors que la variable ( ) X t possède un taux de dérive a et un taux de varianceb . Introduisons maintenant un calcul différentiel pour intégrale stochastique. Ce dernier est nommé calcul d'Itô et l'outil essentiel est la formule d'Itô. La formule d'Itô présente, entre autres, la façon de différencier des fonctions de solutions d'équations différentielles stochastiques. Supposons l'équation différentielle stochastique suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , dX t a X t t dt b X t t dB t = + La formule d'Itô montre que le processus ( ) ( ) ( ) , Y t G X t t = pour une fonction ( ) ( ) , G X t t à deux variables réelles satisfaisant à des conditions appropriées, suit le processus suivant : ( ) ( ) 2 2 2 1 2 G G G G dY t a b dt bdB t x t x x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Cette formule est appelée le Lemme d'Itô. Les modèles financiers continus d'évaluation d'actions utilisent généralement un mouvement brownien géométrique. Ce processus est simplement une fonction du mouvement brownien, à savoir son exponentielle. Ainsi, en termes mathématiques, un mouvement brownien géométrique avec dérive est défini comme suit : Mouvement brownien géométrique avec dérive= ( ) ( ) exp t B t µ σ + Où µ est appelé le paramètre de la dérive σ la volatilité En définissant les fonctions suivantes : ( ) , t x G x t eµ σ + = ( ) ( ) X t B t = ( ) ( ) ( ) , S t G X t t = Nous avons, en appliquant le lemme d’Itô à la fonction G l'équation différentielle stochastique utilisée pour décrire les trajectoires temporelles des prix des actions ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 exp 2 dS t S t dt S t dB t S t S B t t µ σ σ µ σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⇔ = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ III. Méthode de Monte-Carlo et simulations de variables aléatoires. La méthode de Monte Carlo est une technique de calcul numérique d'intégrale. Il existe de très nombreuses méthodes d'approximation de l'intégrale : ( ) [ ] 0,1 f x dx ∫ par des formules du type ( ) 1 n i i i f x ω = ∑ , où les i ω sont des nombres positifs dont la somme fait 1, et les i x sont des points de l'intervalle [0, 1]. Par exemple, lorsque les i ω valent 1/n et / i x i n = , c'est la méthode des rectangles. Il existe d'autres méthodes déterministes : trapèzes, Gauss, Simpson, etc. Une méthode de Monte Carlo consiste à choisir 1/ i n ω = et à tirer aléatoirement les i x (Selon la loi uniforme sur [0, 1]). Cette méthode converge avec une vitesse de l'ordre de / K n . Description de la méthode Première étape : mettre l'intégrale sous la forme d'une espérance ( ) E X . Si l'intégrale à estimer est de la forme ( ) ( ) n I f x x dx φ = ∫\ Avec φ positive et ( ) 1 n x dx φ = ∫\ , alors ( ) ( ) I E f Y = Sinon se ramener à cette forme en introduisant arbitrairement la densitéφ . En probabilités, cette étape est souvent inutile, car on a déjà une espérance à calculer. Deuxième étape : il faut pouvoir simuler la variable aléatoire (v.a. en abrégé)Y , dont la loi est donnée (parφ ). Ensuite on uploads/Finance/ beassoum-nkondje-tsiengeny-nkuiya-wounang.pdf