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♦ Valeur finale d’une somme : VF = VA (1+ i ) n ♦ Valeur actuelle d’une somme :

♦ Valeur finale d’une somme : VF = VA (1+ i ) n ♦ Valeur actuelle d’une somme : VA = VF (1+ i) - n ♦ Taux d’intérêt réalisé : i = (VF/ VA) 1/ n - 1 ♦ Les Annuités : A A A VFA | | | | VAA 1 2 3 N-1 N VAA = A       + − − i i N ) 1 ( 1 VFA = A       − + i i N 1 ) 1 ( Généralement les annuités (Semestrialités ou Mensualités) sont versés en fin de période, cependant s’il s’agit de début de période, on aura les formules suivantes : - VFA (Début)= VFA (1 + i) - VAA (Début)= VAA (1 + i) La Valeur actuelle d’une perpétuité (c’est une annuité dont les versements ne cesseront jamais ) est donnée par la formule suivante : - VAP = A/ i ♦ Taux effectif annuel: Mathématiques financières : Rappel - Taux effectif annuel = (1 + taux par période) # de période par an – 1 Iea = ( 1 + i )m - 1 i : taux périodique i = taux nominal / m m : nombre de période par an = 2,4,12,52,365 - Équivalence des taux (1 + iep) m = (1 + i´ / m´) m´ Iep : taux effectif périodique (semestriel ou mensuel ou…) i : taux effectif nominal ♦ Les hypothèques : V = M       + − − i i N ) 1 ( 1 V = Valeur du prêt hypothécaire M = Mensualité à rembourser i = Taux mensuel N = Nombre de mois à courir jusqu’à l’échéance Exemple Récapitulatif : Soit un prêt hypothécaire de 50 000 $ sur 25 ans avec un taux nominal de 18 % capitalisé semestriellement et remboursable par mensualité. - Taux effectif mensuel : ( 1 + i )12 = ( 1 + 0.18 / 2 )2 i = (1.09)2/12 – 1 i = 0.0144665 - Le montant de Mensualité : 50 000 = M       + − − i i N ) 1 ( 1 M = 733,19 $ - Plan de Remboursement : 1 2 (3) = (2) * i (4) = (2)- (3) (5) =(1) - 4) Période Solde (début) Versements Intérêt Remise Solde (fin) 1 50 000 733,19 723,33 9,86 49 990,14 2 49 990,14 733,19 723,19 10 49 980,14 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 299 , , , , , 300 722,73 733,19 10,46 722,73 0 Total 219 957 169 957 50 000 Question 1 Vous investissez une somme de 3 000 $ pour une période de 10 ans. Calculez combien vous aurez accumulé à la fin de cette période si votre investissement porte intérêt au taux annuel de a) 7% b) 12% c) 15% Question 2 Vous investissez une somme de 3 000$ pour une période de 10 ans. Calculez combien vous aurez accumulé à la fin de cette période si votre investissement porte intérêt au taux annuel de 12% capitalisé a) annuellement b) semestriellement c) trimestriellement Question 3 Vous désirez accumuler une somme de 5 000 $ dans 2 ans. Pour ce faire, vous effectuerez des versements à la fin de chaque trimestre dans un compte vous rapportant un taux d’intérêt annuel de 10 % capitalisé trimestriellement. Déterminez le montant des versements qui vous permettront d’atteindre votre objectif. Question 4 Vous désirez acheter une voiture d’un de vos amis. Cette voiture a une valeur de 10 000 $, mais vous n’avez que 1000 $ de disponible. Votre ami vous propose de vous avancer la somme manquante à condition que vous lui remboursiez cette somme par trois versements égaux effectués à la fin de chaque année pour les trois prochaines années. Calculez le montant des remboursements que vous devrez effectuer si votre ami exige un taux de rendement annuel de 8 %, capitalisé annuellement. Mathématiques financières : Problèmes Question 5 Un père pense économiser une somme annuelle afin de permettre à sa fille de retirer un montant de 12 000 $ au début de chacune des 4 années qu’elle compte passer à l’université. Sa fille débutera l’université dans exactement 8 ans. Le taux d’intérêt que le père pense obtenir est de 8 % capitalisé annuellement. Déterminez le montant des versements que le père devra effectuer à la fin de chaque année pour rencontrer son objectif. Déterminez le montant des versements s’ils s’effectuent en début d’année plutôt qu’à la fin. Question 6 Vous investissez une somme de 2 000 $ à la fin de chaque année pendant 10 ans. Au cours des 5 premières années, votre investissement rapportera un taux de rendement annuel de 10 %, capitalisé annuellement. Au cours des 5 dernières années, il rapportera un taux de 12% capitalisé annuellement. Déterminez la somme que vous aurez accumulé au bout des 10 ans. Vérifiez si la réponse demeure la même si les taux d’intérêt sont inversés dans le temps.( 12 % pour les 5 premières années et 10 % pour les 5 dernières). Question 7 Quel est le taux de rendement effectif annuel auquel correspond chacun des taux suivants : 8% capitalisé semestriellement 12% capitalisé trimestriellement 6% capitalisé mensuellement 8% capitalisé hebdomadairement 8% capitalisé quotidiennement 10% capitalisé à tous les deux ans Question 8 Vous désirez investir une somme de 1 500 $ à la fin de chaque année pendant 6 ans. Le taux d’intérêt prévu est de 12%, capitalisé semestriellement. Calculez la somme que vous aurez accumulée dans 6 ans. Question 9 Un individu effectue un emprunt hypothécaire dans une institution financière. L’emprunt est de 200 000 $, le taux d’intérêt nominal annuel est de 12 %, la capitalisation des intérêts est semestrielle et la période d’amortissement est de 20 ans. a) Déterminez le montant des mensualités que devra verser l’individu à son institution financière Pour rembourser ce prêt. b) Au bout de trois ans, quel sera le solde du prêt? c) Si le taux d’intérêt demeure le même pour toute la période de 20 ans, quel sera le montant total D’intérêts versé par l’individu? Question 10 Vous désirez acheter une maison dont le prix est de 150 000 $. L’institution financière où vous faites une demande de prêt exige que vous ayez un comptant de 20 000 $. Le reste serait prêté au taux de 8 % capitalisé semestriellement, ce taux étant fixé pour une période de un an. Les remboursements seraient effectués à la fin de chaque mois pendant 20 ans. a) Quel est le montant des versements mensuels que vous aurez à effectuer? b) Quel montant total verserez-vous à l’institution financière durant la même période? c) Quel montant auriez-vous à payer à toutes les deux semaines pendant vingt ans pour rembourser le même prêt? d) Quel montant total verserez-vous à l’institution financière au cours de la période de vingt ans? Combien d’intérêts aurez-vous payés à l’institution financière durant la même période? e) En supposant que vous choisissiez d’effectuer des versements mensuels, quel est le solde de votre prêt au bout de un an? f) Combien aurez-vous remboursé de capital durant cette première année? Combien aurez-vous payé en intérêts? g) Le taux d’intérêt est alors fixé à 9,5%. Quel est le nouveau montant des mensualités si vous continuez la même période d’amortissement? h) En supposant que le taux baisse à 6,5%, quel est le nouveau montant des mensualités? i) Toujours en supposant que le taux baisse à 6,5% , vous profiterez de cette baisse de taux pour ramener la période d’amortissement à 15 ans. Quel est le montant des mensualités dans ce cas-ci? Question 11 Vous venez d’acheter une nouvelle maison à un prix de 175 000 $. La banque vous offre une hypothèque sur 15 ans à un taux nominal initial de 8.25 %, mais avec une possibilité de renégociation du taux à la fin de la 5e année. a) Calculez le montant mensuel servant à rembourser l’hypothèque de la Banque. b) Quelle sera le nouveau montant de remboursement après la 5e année si vous estimez que le taux passera de 8.25% à 8%? Si la banque a la possibilité de placer vos mensualités à un taux de 5% par semestre pour les trois premières années, puis à un taux de 3% par trimestre pour les douze années suivantes : c) Quelle sera la valeur accumulée des versements concernés, au bout de 15 ans ? PROBLÈMES SUPPLÉMENTAIRES PROBLÈME 1 Vous désirez acheter une nouvelle maison à un prix de 250 000 $ et vous avez deux possibilités pour financer cet achat : 1) La Banque DC vous offre une hypothèque sur 15 ans à un taux nominal initial de 7 %, mais avec une possibilité de renégociation du taux à la fin de la 5ième année. 2) La Master Bank vous offre une uploads/Finance/ aideutilespourletp-1.pdf