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Cours de gestion financière (M1) Séance du 3 octobre 2014 Beta, SML, droite car

Cours de gestion financière (M1) Séance du 3 octobre 2014 Beta, SML, droite caractéristique 1 S&P500 vs high beta stocks Plan de la séance du 3 octobre 2014 (3) Beta, Security Market Line (SML), droite caractéristique Espérance de rentabilité et risque (introduction) Beta d’un titre, droite caractéristique d’un titre Estimation des Betas : approches de Bloomberg, Blume et Vasicek Beta ex-ante Beta d’un portefeuille de titres Risque systématique (ou de marché) et risque spécifique (ou idiosyncratique), décomposition du risque total Le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) De la capital market line à la security market line (SML) Démonstration intuitive du MEDAF : diversification du risque idiosyncratique Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques Estimation des écart-types des rentabilités 2 Décomposition d’un risque d’un titre Dans le graphique ci-dessous, on compare les résultats d’un investissement de 1 $ dans l’action McDonald’s et dans le portefeuille S&P 500 Dividendes réinvestis 3 1 $ investi en 1980 dans l’action McDo vaut 150 $ en 2012 Si l’on investit dans le portefeuille diversifié S&P 500, on n’obtient que 30 $ Comment expliquer cet écart de rentabilité ? « chance », « risque » ? Décomposition d’un risque d’un titre 4 Traders sur le marché des options de Chicago CBOE Évolution comparée des rentabilités cumulées de Pier Import et de MacDo Il semble que le cours de Pier Import soit plus volatile que celui de MacDo Est‐ce que la rentabilité du premier titre est significativement plus élevée ? Décomposition d’un risque d’un titre Variabilité des rentabilités d’Apple supérieure à celle de Clorox Qu’en déduire à propos des rentabilités attendues ? 5 Rentabilités quotidiennes des actions Apple et Clorox de mai 2012 à mai 2013 Droite caractéristique d’un titre  ࢏,࢚représente la rentabilité du titre i à la date t Il peut aussi s’agir de la rentabilité d’un portefeuille de titres  ࡹ,࢚représente la rentabilité d’un indice boursier à la date t, représentant l’évolution du marché boursier Typiquement CAC40, indice S&P 500 aux États-Unis Pondération par la capitalisation boursière Décomposition du risque du titre i en risque lié au marché ௜ ௜ ெ,௧et un terme résiduel ௜,௧  ௜,௧ ௜ ௜ ெ,௧ ௜,௧  ௜ ௜constantes, ௜:beta du titre i Ceci signifie que si le marché augmente de 1%, le titre i augmente en moyenne de ௜ 6 Droite caractéristique d’un titre  ௜,௧ ௜ ௜ ெ,௧ ௜,௧  ௜:beta du titre i déterminé à partir des rentabilités passées On parle aussi de beta ex-post ߚ௜ൌ ଵ ்෌ܴ௜,௧െܴ ത௜ ܴெ,௧െܴ തெ ௧ ଵ ்෍ܴெ,௧െܴ തெ ଶ ௧ ൘ ܴ ത௜et ܴ തெsont les rentabilités moyenne du titre i et du marché sur la période d’estimation, ici de longueur ܶ Propriétés complémentaires  ଵ ்෌ߝ௜,௧ൌ0 ௧ le terme résiduel a une moyenne nulle  ଵ ்෌ߝ௜,௧ܴெ,௧െܴ തெൌ0 ௧ pas de corrélation entre résidu et rentabilité du portefeuille de marché  ௜ ௜ équation d’une droite dite caractéristique 7 Droite caractéristique d’un titre Navellier Fundamental A (NFMAX, fonds géré par Navellier) contre Russell 3000 Index 8 Données hebdomadaires Mai 2005 Juillet 2009 Russell 3000 Indice large 98% de la capitalisation boursière US Droite caractéristique d’un titre Quelles données pour déterminer la droite caractéristique ? De nombreux points à préciser concernant les rentabilités utilisées Prise en compte des dividendes (réinvestis) Opérations sur titres (OST) : division, distribution d’actions gratuites, augmentation de capital avec droits préférentiels de souscription Périodicité : quotidienne, hebdomadaire, mensuelle Composition des rentabilités : moyenne arithmétique, géométrique Périmètre : choix des marchés sur lesquels les actions sont cotées, retraits de la côte, différence entre les dates de clôture des différents marchés Pondérations : par la valeur boursière, par la valeur boursière flottante Période d’observation : date de début, date de fin, prise en compte des données manquantes (la non cotation 9 Droite caractéristique du titre i : ࢏,࢚ ࢏ ࢏ ࡹ,࢚ ࢏Ordonnée de la droite caractéristique à l’origine Droite caractéristique d’un titre, méthode des moindres carrés 10 À chaque point est associé une date t En abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t : ࡹ,࢚ En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t : ࢏,࢚ ࢏Pente de la droite caractéristique Droite caractéristique du titre i : ࢏,࢚ ࢏ ࢏ ࡹ,࢚ ࢏Ordonnée de la droite caractéristique à l’origine Droite caractéristique d’un titre, méthode des moindres carrés 11   , , , i t i t i i M t R R       À chaque point est associé une date t En abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t : ࡹ,࢚ En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t : ࢏,࢚ La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés ࢏Pente de la droite caractéristique Distance verticale entre un point et la droite caractéristique Droite caractéristique du titre i : ࢏,࢚ ࢏ ࢏ ࡹ,࢚ ࢏Ordonnée de la droite caractéristique à l’origine Droite caractéristique d’un titre, méthode des moindres carrés 12   , , , i t i t i i M t R R       La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés : ࢻ࢏et ࢼ࢏minimisent la somme des carrés des écarts ࢿ࢏,࢚: ∑࢚ࡾ࢏,࢚െࢻ࢏൅ࢼ࢏ࡾࡹ,࢚ ૛ ࢏Pente de la droite caractéristique Distance verticale entre un point et la droite caractéristique Droite caractéristique d’un titre et beta / la pratique Beta de l’action Disney (source Bloomberg) 13 Indice S&P 500 retenu pour approcher le portefeuille de marché Rentabilités mensuelles sur une période de 5 ans « raw beta » correspond au Beta historique « adjusted beta » = 2/3 raw beta + 1/3 x 1 Estimation des betas / retour à la moyenne Raw beta / beta brut : déterminé comme indiqué précédemment Bloomberg s’appuie sur les travaux de Blume et de Vasicke Blume part de la constatation d’un retour à la moyenne des betas estimés sur des périodes consécutives Blume, M. E. (1975). Betas and their regression tendencies. The Journal of Finance, 30(3), 785-795. Blume, M. E. (1979). Betas and their regression tendencies: some further evidence. Journal of Finance, 265-267. 14 Estimation des betas / retour à la moyenne Le tableau ci-dessous considère des betas estimés sur une période de 7 ans (1926-1933) et regroupés en 4 groupes Le groupe 1 est constitué des actions avec le Beta le plus faible et ainsi de suite La dernière colonne représente les betas pour ces titres sur la période de 7 ans qui suit On constate un retour à la moyenne (sauf pour la catégorie 3) 15 Estimation des betas / biais de sélection Une partie de l’effet observé est due au biais de sélection Illusion statistique, plus spécifiquement ici de biais de classement Prenons une série de grandeurs tirées de manière aléatoire, par exemple des tirages de dés L’observation d’une valeur extrême, disons 6, est (nécessairement) suivie d’une valeur plus proche de la moyenne Si l’on raisonne en termes de causalité, on dira que les fils des hommes grands ne sont pas aussi grands (relativement à la moyenne de leur génération) que leur père … Ce qui parait d’une logique « évidente » … En sens inverse, une valeur moyenne, disons 3 ou 4, va être suivie d’une valeur extrême 1,2 ou 5,6 avec une probabilité de 2/3 et on n’a ainsi qu’une probabilité de 1/3 de rester dans la moyenne On ne va bien sûr pas en déduire que les hommes moyens engendrent souvent des géants ou des nains …  Le sophisme est d’autant plus apparent que la numérotation des faces du dé est arbitraire … 16 Estimation des betas / biais de sélection Concept de retour à la moyenne attribué à Francis Galton Regression to the mean Selon les observations de Galton, si les parents mesurent 6 cm de plus que la moyenne, les enfants ne mesurent plus que 2/3 x 6 cm de plus que la moyenne … Galton, F. (1886). "Regression towards mediocrity in hereditary stature". The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland 15: 246–263. D’où l’origine du terme “regression” Galton, inventeur des concepts d’écart-type et ayant retrouvé celui de corrélation (une invention française) … Indispensable pour corriger du biais de sélection précédent L’artéfact précédent survient dès que le coefficient de corrélation est inférieur à 1 Pour en revenir aux betas estimés, ils ne sont déterminés qu’avec un bruit statistique et donc imparfaitement corrélés 17 Pour aller plus loin, voir Kahneman, p. 219‐225 Galton Estimation des betas / biais de sélection Revenons maintenant aux betas ajustés et à l’étude de Blume Le beta moyen étant de 1, la formule du beta ajustée: 2/3 beta estimé sur la période précédente + 1/3 x 1 On pourrait penser qu’il y a un problème statistique de même nature dans le phénomène de retour à la moyenne des Betas Blume avait heureusement conscience de ce phénomène Il s’agit en fait de ce qu’on appelle uploads/Finance/ 53-bc-0-b-1-a-1-f-020.pdf