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ETUDE DE PENDULES COUPLES B. AMANA et J.-L. LEMAIRE -Etude de Pendules Couplés.

ETUDE DE PENDULES COUPLES B. AMANA et J.-L. LEMAIRE -Etude de Pendules Couplés. Page - 2 ETUDE DE PENDULES COUPLES Modes et fréquences propres I. Buts de l'étude Il s'agit dans ces expériences d'étudier les modes de vibration de pendules couplés. Les fréquences propres seront directement mesurées et on observera l'effet du couplage sur leurs valeurs. Il sera possible d'étudier l'effet des conditions initiales sur les modes observés. Le système pourra comporter deux, trois ou plusieurs pendules couplés. Ces pendules pourront être identiques ou non. Si on dispose de plusieurs postes de travail (carte d'acquisition +ordinateur) il peut être intéressant de comparer les résultats obtenus simultanément sur chacun des pendules couplés. Ce TP peut également servir à étudier les caractéristiques de fonctionnement de la transformée de Fourier (TF) sur les signaux enregistrés: fréquence d'échantillonnage, durée de l'enregistrement .., ainsi que sur des signaux simulés. Le dispositif expérimental proposé peut facilement être adapté à l'étude des oscillations forcées d'un système de pendules couplés. 2 -Etude de Pendules Couplés. Page - 3 II. Présentation théorique Seul un bref rappel théorique correspondant aux expériences sera présenté ici ainsi que les principales relations nécessaires à leur interprétation. Tous les résultats ne seront pas démontrés, le soin est laissé au lecteur de les établir complètement si nécessaire. Un des systèmes proposés est représenté sur la figure 1. Il est constitué de trois pendules identiques de masses M et de moment d'inertie I par rapport aux points de suspension O1, O2 et O3. Le centre de masse d'un pendule est appelé Gi, et L = OiGi. Les pendules sont couplés au moyen de ressorts identiques de constante de rappel k et de masse négligeable face à la masse des pendules. Les ressorts sont fixés à une distance d du point de suspension des pendules. Les deux ressorts extrêmes, identiques aux précédents servent à obtenir un couplage nul lorsque les pendules sont verticaux (ils ne sont pas indispensables, mais les calculs sont différents, sans). 3 -Etude de Pendules Couplés. Page - 4 . . . . . d L k k k k θ1 θ2 θ3 Ο1 Ο2 Ο3 . . G1 G2 G3 Alim entation Entrées logiques Sysam Eurosmart PC Carte d'acquisition Fichiers sur DD Codeur qque Codeur 1 Codeur 2 Codeur 3 M M M Pendules couplés Informatisés J.L. Lemaire Université de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon Figure 1 Roue codeuse Alim entation Entrées logiques 4 -Etude de Pendules Couplés. Page - 5 BNC (Oscillo) Entrées logiques SYSAM Voie 0 Voie 1 Masse Secteur Connecteur DIN 6 vers le pendule Détail des branchements Roue codeuse Alim entation Entrées logiques Sysam Eurosmart PC Carte d'acquisition Pendule Informatisé pédagogique Fichiers sur DD J.L. Lemaire Université de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon Figure 2 5 -Etude de Pendules Couplés. Page - 6 II.1. Système de 2 pendules couplés (par 1 seul ressort) On obtient, de façon classique, l'équation différentielle du mouvement d'un pendule, dans l'hypothèse des petits angles d'oscillation, à l'aide du théorème du moment cinétique, soit: IÝ Ý θ 1 = −MgLθ1 + kd2(θ2 −θ1) Les deux équations correspondant aux deux pendules couplés (par 1 seul ressort mais sans liaison à gauche et à droite avec une paroi fixe) forment un système d'équations couplées: MgL + kd2 I θ1 −kd2 I θ2 + Ý Ý θ 1 = 0 −kd2 I θ1 + MgL +kd2 I θ2 + Ý Ý θ 2 = 0 Ce système peut s'écrire sous forme matricielle en utilisant les matrices: Θ = θ1 θ2         et Ý Ý Θ = Ý Ý θ 1 Ý Ý θ 2         En posant: ω0 = MgL I et µ = kd2 MgL le système s'écrit: Θω0 2A+ Ý Ý Θ = 0 où A= (1+ µ) −µ −µ (1+ µ)         La matrice A a pour valeurs propres 1 et 1+ 2µ A ces deux valeurs propres correspondent les fréquences propres f1 = f0 f2 = f0 1+ 2µ      Il apparaît évident que le mode correspondant à la fréquence f1 sera obtenu seul lorsque les deux pendules sont lâchés à l'instant initial d'angles égaux avec des vitesses identiques. Le système se comporte dès lors comme un pendule unique, les ressorts de couplage ne jouant aucun rôle. On peut montrer que l'autre mode est obtenu lorsque les deux pendules sont lâchés à l'instant initial avec des angles opposés et avec des vitesses de même module mais de sens opposés. 6 -Etude de Pendules Couplés. Page - 7 Remarque: On pourra traiter, à titre d'exercice le cas de 2 pendules couplés, avec liaison sur les parois (comme sur la figure 1), soit directement soit selon la méthode équivalente indiquée en II.3. f1 = f0 1+ µ f2 = f0 1+3µ      II.2. Lagrangien du système de 3 pendules couplés (consulter pour plus de détails, entre autres, le livre de Mécanique de Pierre Brousse - collection U - librairie Armand Colin. Soit S un système matériel de solides dont la position à priori est fonction de n paramètres indépendants qi et éventuellement du temps t. L'énergie cinétique du système S, fonction des (2n +1) variables q i, Ý q i,t est désignée par T. La force généralisée de l'union des efforts sur chaque solide est notée Qi { }. Alors tout mouvement qi (t) sous l'action des efforts considérés satisfait aux n équations de Lagrange: d dt ∂T ∂Ý q i −∂T ∂qi = Qi (1) Dans le cas particulier où les efforts exercés sur S ne dépendent que des qi et de t , et donc dérivent d'une fonction de force (c'est-à-dire lorsqu'il existe une fonction différentiable U(q,t) telle que la force généralisée de ces efforts soit le gradient de U dans Rn ) soit Qi = −∂U ∂qi (2) L'équation (1) devient: d dt ∂T ∂Ý q i −∂T ∂qi = −∂U ∂qi (3) ou encore d dt ∂L ∂Ý q i −∂L ∂qi = 0 (3') où L (q, Ý q , t) = T (q, Ý q , t) −U (q, t) est appelé le lagrangien du système. Les coordonnées généralisées qui permettent de décrire la dynamique du système sont les angles θi (i=1,2,3) (voir figure 1). De plus, dans toute la suite, on négligera les frottements. L'énergie cinétique du système vaut: 7 -Etude de Pendules Couplés. Page - 8 T = 1 2 I ( Ý θ 1) 2 +(Ý θ 2) 2 +( Ý θ 3) 2 ( ) (4) L'énergie potentielle du système est la somme des énergies potentielles des masses et des ressorts. Pour un déplacement θi, la masse pendulaire Mi est déplacée d'une hauteur hi = L (1 −cosθi) d'où une énergie potentielle de Wi = MgL (1−cosθi). L'énergie potentielle de chacun des ressorts vaut: ressort 1 Wp1 = 1 2 k x1 2 avec x1 = d.θ1 ressort 2 Wp2 = 1 2 k(x1 −x2)2 avec x2 = d.θ2 ressort 3 Wp3 = 1 2 k(x2 −x3)2 avec x3 = d.θ3 ressort 4 Wp4 = 1 2 k x3 2 D'où l'énergie potentielle totale qui vaut: U = MgL(3−cosθ1 −cosθ2 −cosθ3) + 1 2 kd 2 θ1 2 + (θ1 −θ2) 2 + (θ2 −θ3) 2 + θ3 2 ( )(5) Ainsi le lagrangien L vaut: L = 1 2 I ( Ý θ 1)2 +( Ý θ 2 2) + ( Ý θ 3)2 ( )−MgL(3−cosθ1 −cosθ2 −cosθ3) −1 2 k d2 θ1 2 + (θ1 −θ2)2 + (θ2 −θ3)2 + θ3 2 [ ] (6) II.3. Equations du mouvement du système de 3 pendules couplés On considère les mouvements limités aux petits angles θi. En appliquant la formule (3') où les qi sont remplacés par les θi, on obtient les équations suivantes décrivant la dynamique du système: 8 -Etude de Pendules Couplés. Page - 9 IÝ Ý θ 1 + (MgL + 2kd2)θ1 −kd2θ2 = 0 IÝ Ý θ 2 −kd 2θ1 + (MgL + 2kd 2)θ2 −kd 2θ3 = 0 IÝ Ý θ 3 −kd2θ2 + (MgL + 2kd2)θ3 = 0. (7) Pour déterminer les fréquences propres, il est avantageux d'utiliser un formalisme matriciel; les 3 équations précédentes peuvent être mises sous la forme: I 0 0 0 I 0 0 0 I           Ý Ý θ 1 Ý Ý θ 2 Ý Ý θ 3             + MgL +2kd2 −kd2 0 −kd2 MgL +2kd2 −kd2 0 −kd2 MgL + 2kd2             θ1 θ2 θ3             = 0 0 0           (8) ou encore avec des notations plus concises: M Ý Ý θ + Kθ = 0 où M est la matrice des moments d'inertie uploads/S4/ pendules-couples.pdf