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Lycée secondaire Bennane-Bodheur Durée: 2 heures Mr : Bouhouch Ameur 4ème Math

Lycée secondaire Bennane-Bodheur Durée: 2 heures Mr : Bouhouch Ameur 4ème Math Coefficient : 4 N.B : La qualité de la rédaction ,la clarté et la précision des raisonnement ontreront pour une part importante lors de l’appréciation des copies… Exercice n°1: (6 pts) A) Pour tout entier naturel non nul n, soit ( ) dx x x e ∫ = 1 2 n n ) ln( I 1) Montrer que la suite ) I ( n est décroissante et qu’elle est convergente. 2) a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ( ) e 1 .I 1 n I n 1 n − + = + . b) En déduire que, pour tout * I N n ∈ , e n 1 I 0 n ≤ ≤ puis calculer la limite de la suite ) I ( n 3) a) Montrer par récurrence que pour tout * I N n ∈ , on a : ∑ = − = n 0 k n k! 1 1 1 I n! 1 e . b) Déduire que e = ∑ = ∞ + n 0 k n k ! 1 l i m . B) Dans cette partie, on va démontrer que e est irrationnel. Soient les suites ( ) n U et( ) n V définies par ∑ = = n 0 k n k! 1 U et n.n! 1 U V n n + = . 1) a) Montrer que ( ) n U est croissante et que ( ) n V est décroissante. b) Montrer que e n= ∞ + V lim n . c) En déduire que n n V U < < e pour tout * I N n ∈ . 2) On suppose que q p = e tels que p et q sont des entiers naturels. En utilisant l’inégalité de la question B)1)c) ; Montrer que q U q! q q! p × × − × est un entier appartenant à ] [ 1 ; 0 puis conclure. Exercice n°2: (7 pts) Le plan est orienté dans le sens direct. Dans la page annexe (figure n°1) ,on donne un losange AOBC de centre I tel que [ ] π π 2 3 AC , AO ≡       ∧ et D le point tel que (C) S D O = . Soient J et K les milieux respectifs des segments [AD] et [BD]. 1) Montrer que le triangle ABD est équilatéral. 2) Montrer que le point O est le centre de gravité de chacun des triangles ABD et IJK. 3) a) Montrer qu’il existe un seul antidéplacement f qui transforme A en O et C en D. b) Montrer que f est une symétrie glissante dont on précisera l’axe et le vecteur. 4) Soit g la similitude indirecte tels que g(A)=K et g(B)=I. 2 a) Montrer que le rapport de g est égal à 2 1 . b) Déterminer l’image du triangle ABD par g et déduire que O est le centre de g. c) Déterminer et construire l’axe ∆ de g. 5) Soit la transformation g o f S = . a) Déterminer ( A ) S et ( C ) S . b) Montrer que S est une homothétie et préciser son rapport. c) Construire le centre Ω de S. Exercice n°3: (7pts) A) Soit g la fonction définie sur [ [ +∞ , 0 par 0 ( 0 ) g = et       + = 1 x x x . l n ( x ) g si 0 x > On désigne par sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé( ) j i r r , , O . 1) Montrer que g est continue à droite en 0. 2) Etudier la dérivabilité de g à droite en 0.Interpréter graphiquement ce résultat. 3) Montrer que ∞ + l i m x 1 ( x ) g − = .Interpréter graphiquement ce résultat. B) Soit * IN k ∈ et k f la fonction définie sur[ [ +∞ , 0 par 0 ( 0 ) f k = et       + = k x x x . l n ( x ) f k si 0 x > . On désigne par sa courbe représentative ( k C ) dans un repère orthonormé( ) j i r r , , O . 1) Montrer que ( k C ) est l’image de (C) par l’homothétie h de centre O et de rapport k. 2) Déduire, alors (sans utiliser l’expression de k f ) que ∞ + l i m x k ( x ) f k − = et donne une interprétation Graphique de ce résultat. 3) On a tracé dans la page annexe (figure n°2) la courbe représentative ( 0 k C ) d’une fonction 0 k f . a) Par une lecture graphique, déterminer la valeur de o k . b) Tracer alors la courbe (C) à partir de ( 0 k C ). 4) Soit A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations 1 e 1 x − = et 1 = x . A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ( ) ( ) 2 1 e 2 e 1 e . l n 1 A − − − − = 2 1 (u.a) 5) Facultatif : Soit ( ) Γ la courbe de fonction réciproque 1 g −de g. Montrer que ( k C ) est l’image de ( ) Γ par une similitude qu’on caractérisera. BON TRAVAIL 3 PAGE ANNEXE Nom et Prénom :…………………………………………………………………………. Figure n°1 Figure n°2 uploads/S4/ exercice-n01-duree-2-heures.pdf