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Lycée Ibn Khaldoun BOUZNIKA Solution de l’examen National 2011 SN AGOUZAL Année

Lycée Ibn Khaldoun BOUZNIKA Solution de l’examen National 2011 SN AGOUZAL Année scolaire : 2019 – 2020 2BACPCOM LYCEE IBN KHALDOUN AGOUZAL Exercice 1 : (2,5 pts) 1) a - Résoudre dans ℝ l’équation suivante : 2 4 5 0 x x   2 (4) 4 1 ( 5) 36 0      l’équation admet deux solutions distincts. 1 4 36 2 4 6 1 2 x      et 2 4 36 2 4 6 5 2 x        5;1 S  b – Résoudre dans   0; l’équation suivante : 2 ln( 5) ln( 2) ln2 x x x       0, x   donc x > 0 donc 2 1 0 x  et 2 0 x   et 2 0 x  2 ln( 5) ln( 2) ln2 x x x     2 2 2 2 2 ln( 5) ln( 2)2 5 ( 2)2 5 2 4 4 5 0 x x x x x x x x x x x                Donc x = - 5 et x = 1 or x > 0 donc x = 1 D’où  1 S  2) Résoudre dans   0; l’inéquation suivante : 2 ln ln( 1) ln( 1) x x x       0, x   donc x > 0 donc 2 1 0 x  et 1 0 x    2 2 ln ln( 1) ln( 1) ln x(x 1) ln( 1) x x x x         2 x(x 1) 1 x 1 x      or x > 0 D’où   1, S   Exercice 2 : (3 pts) On considère la suite (Un) définie par : 1 5 8 n n n U U U   n  et 1 0 U  1) Montrer que : 0 Un  n  Pour n = 0 on a 0 1 U  donc 0 0 U  Soit n  ℕ supposons que 0 Un  et montrons que 0 1 Un   On a 0 Un  donc 8 0 Un  et 5 8 5 n U   donc 1 0 5 8 n n n U U U    D’où 0 Un  n  2) On considère la suite (Vn) définie par : 1 2 n n V U   n  a – Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 5 puis écrire n V en fonction de n. Montrons que 1 5 ? n n V V  1 1 5 8 1 1 2 2 2 5 8 8 5 5 1 2 8 2 5( 2) n n n n n n n n n n n U V U U U U U U U U U                   D’où 1 5 n n V V  (Vn) est une suite géométrique de raison 5 de premier terme 0 0 1 2 3 V U    0 5 n n V V   D’où 3 5 n n V  n  b – Montrer que 1 3 5 2 n n U    n  et en déduire lim n U a 1 1 2 2 1 1 2 3 5 2 n n n n n n n n V V U U U U V             D’où 1 3 5 2 n n U    n  On a 1 3 5 2 n n U    n  1 lim lim 0 3 5 2 n n U     car lim5n  Et 5 > 1 D’où lim 0 n U  Exercice 3 : (5 pts) 1) Résoudre dans l’équation : 2 18 82 0 Z Z    2 2 ( 18) 4 1 82 4 0 (2 ) i      Donc l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : 1 18 2 9 2 i z i     et 2 1 9 z z i    D’où   9 ;9 S i i    LYCEE IBN KHALDOUN AGOUZAL 2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct ( ; ; ) O u v , on considère les points A et B d’affixes respectives 9 a i  , 9 b i  , 11 c i   a – Montrer que : c b i a b    puis en déduire que le triangle ABC est isocèle et rectangle en B. 11 9 2 1 9 9 2 c b i i i a b i i i i           D’où c b i a b    On a c b i a b    donc 1 1 c b c b BC i a b BA a b        Donc BC BA  cos sin cos( ) sin( ) 2 2 2 2 c b i i a b             Donc cos( ) sin( ) 2 2 c b i a b         Or     ; arg 2 c b BA BC a b     Donc     ; 2 2 BA BC    et BC BA  D’où le triangle ABC est isocèle et rectangle en B b – Ecrire 4( 1  i ) sous forme trigonométrique 4(1 ) i  4(1 ) 41 4 2 i i    2 2 1 1 4(1 ) 4 2( ) 4 2( ) 2 2 2 2 i i i      4(1 ) 4 2(cos sin ) 4 2(cos( ) sin( )) 4 4 4 4 i i i            D’où 4(1 ) 4 2; 4 i         c – Montrer que : ( )( ) 4(1 ) c a c b i     puis en déduire que 4 2 AC BC   9 a i  , 9 b i  , 11 c i   ( )( ) (11 9 )(11 9 ) (2 2 )2 4(1 ) c a c b i i i i i i            D’où ( )( ) 4(1 ) c a c b i     ( )( ) 4(1 ) ( ) ( ) 4 2 c a c b i c a c b         ( ) ( ) 4 2 4 2 c a c b AC BC        D’où 4 2 AC BC   d – Soit z l’affixe de point M du plan et z l’affixe du point M image du point M par la rotation de centre B et d’angle 3 2 . Montrer que ' 10 8 z iz i    puis 3 2 ( ) ' ' b ( ) i R M M z e z b       3 2 ' b ( ) 3 3 ' b cos( ) sin( )( ) 2 2 i z e z b z i z b            ' ( 9 ) 9 ' 9 1 9 z i z i i z iz i i       D’où ' 10 8 z iz i    Vérifier que l’affixe du point C image du point C par la rotation R est 9 – 3i ( ) ' ' 10 8 ' (11 ) 10 8 ' 11 1 10 8 9 3 R C C c ic i c i i i c i i i                 D’où ' 9 3 c i   Problème : (9,5 pts) Partie I On considère la fonction g définie sur ℝ par : ( ) (1 ) 1 x g x x e    1) a – Montrer que '( ) x uploads/S4/ examen-national-maths-sciences-et-technologies-2011-normale-corrige-copie.pdf