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CARTE MENTALE P.238 EXERCICES LIVRES  8 à 12 p.239  22/23/24/27/29/30/31 p.24

CARTE MENTALE P.238 EXERCICES LIVRES  8 à 12 p.239  22/23/24/27/29/30/31 p.243  44/45/56/57/58/61 p.247  73/74/75 p.249  88 p 251 Corrigé exercice 8 : En effet, comme ce sont des vecteurs orthogonaux, . Réponse : c. Corrigé exercice 9 : par bilinéarité du produit scalaire. Réponse : b. Corrigé exercice 10 : On fait le calcul : . Réponse : c. Corrigé exercice 11 : On fait le calcul : . On en déduit que les droites et sont perpendiculaires. Réponse : c. Corrigé exercice 12 : Connaissant le vecteur normal , on sait qu’une équation de la droite est de la forme : . De plus, comme est sur la droite, on sait que , donc , donc , donc . Une équation est donc , ce qui est équivalent à . Réponse : b. Corrigé exercice 22 : Une droite dont une équation cartésienne s’écrit admet pour vecteur normal tout vecteur colinéaire au vecteur de coordonnées . 1. et ou tout vecteur de la forme . 2. et ou tout vecteur de la forme . 3. et ou tout vecteur de la forme . 4. et ou tout vecteur de la forme . Exercices Corrigé exercice 23 : 1. 2. 3. Corrigé exercice 24 : 1. 2. 3. Corrigé exercice 27 : 1. 2. . 3. Corrigé exercice 29 : 1. par projection orthogonale du point sur le segment . 2. par projection orthogonale du point sur le segment . 3. 4. 5. par projection orthogonale du point sur le segment . 6. 7. Corrigé exercice 30 : On calcule le produit scalaire Le produit scalaire étant nul, les droites et sont perpendiculaires. Corrigé exercice 31 : 1. Comme est un vecteur normal de la droite , une équation cartésienne est de la forme . Or, le point appartient à la droite , donc , donc , donc . Une équation de la droite est donc . 2. Comme est un vecteur normal de la droite , une équation cartésienne est de la forme . Or, le point appartient à la droite , donc , donc donc . Une équation de la droite est donc . 3. Comme est un vecteur normal de la droite , une équation cartésienne est de la forme . Or, le point appartient à la droite , donc , donc , donc . Une équation de la droite est donc , ce qui équivaut à . 4. Comme est un vecteur normal de la droite , une équation cartésienne est de la forme . Or, le point appartient à la droite , donc , donc , donc . Une équation de la droite est donc soit : la droite est parallèle à l’axe des abscisses, ce que l’on pouvait deviner car ses vecteurs normaux sont colinéaires au vecteur directeur de l’axe des ordonnées. Corrigé exercice 44 : 1. est un triangle équilatéral, donc . Alors . 2. étant le pied de la hauteur issue de dans le triangle équilatéral , il est également le milieu du segment , donc cm. De plus, la symétrie du produit scalaire implique que et comme , on obtient . (Ou bien en utilisant le projeté orthogonal). 3. La droite est également la bissectrice du sommet du triangle , donc . Pour trouver la longueur du segment , on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle : , donc et enfin cm. On obtient alors : . Corrigé exercice 45 : Plusieurs méthodes sont évidemment possibles ! 1. par projection orthogonale du point sur le segment . 2. par projection orthogonale du point sur le segment . 3. car est un rectangle. 4. Pour déterminer le produit scalaire , on peut par exemple se placer dans le repère orthonormé . Alors, les coordonnées du point sont , celles de sont et celles de sont . On calcule alors les coordonnées des vecteurs et afin d’utiliser la formule du produit scalaire dans un repère : et . Enfin, . 5. Méthode 1 : Pareillement, les coordonnées du point sont , donc et . Méthode 2 : On décompose les vecteurs avec la relation de Chasles : Corrigé exercice 56 : 1. On calcule les coordonnées des vecteurs , et : , donc ; , donc ; , donc . On calcule les trois produits scalaires des côtés du triangle : ; ; . On en déduit que le triangle est rectangle en . 2. Méthode 1 : Les diagonales du rectangle sont et . Comme un rectangle est un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu de coordonnées : , donc , donc . Or on sait que , donc . Alors et , donc et . Les coordonnées du point tel que le quadrilatère soit un rectangle sont donc . Méthode 2 : Comme est un parallélogramme, , or , donc . Comme et , on en déduit que et . Les coordonnées du point tel que le quadrilatère soit un rectangle sont donc . Corrigé exercice 57 : On va calculer les produits scalaires , et . On a , donc , , donc , , donc et , donc . , donc les vecteurs et sont orthogonaux, donc est sur la hauteur issue de dans le triangle . , donc les vecteurs et sont orthogonaux, donc est sur la hauteur issue de dans le triangle . , donc les vecteurs et ne sont pas orthogonaux, donc n’est pas sur la hauteur issue de dans le triangle . Corrigé exercice 58 : 1. Comme le point appartient à la droite , on sait que , donc . 2. est le projeté orthogonal du point sur la droite , ce qui implique que le vecteur est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite . On note un vecteur directeur de : alors et . Ainsi : . Ce produit scalaire étant nul, on résout l’équation et on obtient . 3. Ainsi donc les coordonnées de sont . 4. étant le projeté orthogonal de sur alors la distance de à est définie par la longueur . On a : , donc . Corrigé exercice 61 : 1. Cet algorithme vérifie si deux droites sont perpendiculaires ou non : les variables , , et correspondent aux coordonnées des vecteurs directeurs des droites : et et à leur produit scalaire. Si leur produit scalaire est nul, les droites sont perpendiculaires, donc l’algorithme retourne VRAI, sinon il retourne FAUX. 2. Soient et des équations cartésiennes de deux droites. La condition nécessaire et suffisante pour que les deux droites soient perpendiculaires est que . En effet, les vecteurs directeurs associés aux deux droites sont pour la première et pour la deuxième. Si les deux droites sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux et leur produit scalaire est nul. Or leur produit scalaire vaut , donc . Réciproquement, si , comme il s’agit du produit scalaire des vecteurs directeurs des deux droites, cela implique directement que les deux droites sont perpendiculaires. Corrigé exercice 73 : 1. Comme est un vecteur directeur de la droite , il est un vecteur normal à la droite . Une équation cartésienne est de la forme . Or, le point appartient à la droite , donc , donc , donc . Une équation de la droite est donc . 2. Comme est un vecteur directeur de la droite , il est un vecteur normal à la droite . Une équation cartésienne est de la forme . Or, le point appartient à la droite , donc , donc , donc . Une équation de la droite est donc . 3. La droite étant verticale, un vecteur directeur de cette droite et un vecteur normal à est . Une équation cartésienne de est de la forme . Or, le point appartient à la droite , donc , donc , donc . Une équation de la droite est donc . Corrigé exercice 74 : 1. La hauteur issue de est la droite passant par et perpendiculaire au côté opposé du triangle : . Le vecteur est donc un vecteur normal à la hauteur issue de . Comme soit , une équation de la hauteur est de la forme . Or appartient à la hauteur, donc , donc , donc . Une équation de la hauteur issue de est alors , ce qui équivaut à . 2. La hauteur issue de est la droite passant par et perpendiculaire au côté opposé du triangle : . Le vecteur est donc un vecteur normal à la hauteur issue de . Comme , donc , une équation de la hauteur est de la forme . Or appartient à la hauteur, donc , donc , donc , donc . Une équation de la hauteur issue de est alors , ce qui équivaut à . 3. On note le point d’intersection des deux hauteurs. On sait que existe car les vecteurs directeurs des deux droites, et ne sont pas colinéaires. Afin de trouver les coordonnées de , on résout le système uploads/S4/ ex-livre-corriges-produit-scalaire.pdf