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DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Corrigé 01 Dans un triangle, une médiane est

DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Corrigé 01 Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Dans un triangle, une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et qui coupe ce côté en son milieu. Dans un triangle, une hauteur es côté opposé. Dans un triangle, une bissectrice est une demi même mesure. Corrigé 02 (AC) : médiatrice (BC) : médiane (BD) : bissectrice (BE) : hauteur Corrigé 03 Les médianes d’un triangle sont situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet. Les bissectrices sont concourantes en un point appelé triangle. Ce point est équidistant Les hauteurs concourent à l’intérieur Si M est sur la médiatrice de [AB Corrigé 04 Dans un triangle rectangle : - les 3 hauteurs concourent en un point qui est le sommet de l’angle droit. - les 3 médiatrices concourent en un point qui est le milieu de l’hypoténuse Dans un triangle isocèle, les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont confondues. Dans un triangle équilatéral, les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont confondues. Corrigé 05 Il faut construire les médiatrices car le point d’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle. DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du Dans un triangle, une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et qui coupe ce Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au Dans un triangle, une bissectrice est une demi-droite qui partage un angle en deux angles de Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité de chaque médiane à partir du sommet. Les bissectrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit équidistant des côtés du triangle. intérieur du triangle si tous ses angles sont aigus. ] AB alors MA=MB. oncourent en un point qui est le sommet de l’angle droit. les 3 médiatrices concourent en un point qui est le milieu de l’hypoténuse Dans un triangle isocèle, les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont latéral, les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont Il faut construire les médiatrices car le point d’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au Corrigés 1/8 Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du Dans un triangle, une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et qui coupe ce t une droite passant par un sommet et perpendiculaire au droite qui partage un angle en deux angles de centre de gravité qui est centre du cercle inscrit dans le du triangle si tous ses angles sont aigus. les 3 médiatrices concourent en un point qui est le milieu de l’hypoténuse . Dans un triangle isocèle, les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont latéral, les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Corrigé 06 Les bissectrices se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. On trace la droite (AO) et la droite (OB) En utilisant le rapporteur, on construit la droite issue de A qui fait un angle avec la droite (AO) de mesure BAO . On construit ensuite la droite issue de B qui fait un angle avec la droite (BO) de mesure ABO . Les droites se coupent en C. Corrigé 07 On trace la perpendiculaire à (BC) passant par H qui est la hauteur issue de l’angle A. On trace (BH), hauteur issue de B. On trace (CH), hauteur issue de C. Les hauteurs sont perpendiculaires à leur côté opposé. On trace donc ensuite la droite issue de B perpendiculaire à (CH) puis la droite issue de C perpendiculaire à (BH). Le point d’intersection de ces droites est le point A. Corrigé 08 La médiane passant par I coupe Sachant que le point I est situé au 2/3 de la médiane passant par I à partir de A, on détermine la position de A avec une règle. Il reste à rejoindre les points A, B et C pour obtenir le triangle ABC. DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. On trace la droite (AO) et la droite (OB) En utilisant le rapporteur, on construit la droite issue de A qui fait un angle avec la droite (AO) n construit ensuite la droite issue de B qui fait un angle avec la droite (BO) . Les droites se coupent en C. On trace la perpendiculaire à (BC) passant par H qui est la hauteur issue de l’angle A. (BH), hauteur issue de B. On trace (CH), hauteur issue de C. Les hauteurs sont perpendiculaires à leur côté opposé. On trace donc ensuite la droite issue de B perpendiculaire à (CH) puis la droite issue de C perpendiculaire à (BH). Le point de ces droites est le point A. La médiane passant par I coupe [ ] CB en son milieu. Sachant que le point I est situé au 2/3 de la médiane passant par I à partir de A, on détermine la position de A e. Il reste à rejoindre les points A, B et C pour Corrigés 2/8 se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. En utilisant le rapporteur, on construit la droite issue de A qui fait un angle avec la droite (AO) n construit ensuite la droite issue de B qui fait un angle avec la droite (BO) On trace la perpendiculaire à (BC) passant par H qui est la hauteur issue de l’angle A. Les hauteurs sont perpendiculaires à leur côté opposé. On trace donc ensuite la droite issue de B perpendiculaire à (CH) puis la droite issue de C perpendiculaire à (BH). Le point DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Corrigé 09 La médiatrice (d) coupe le segment [ ] AC . La médiatrice (d’) coupe le segment On trace [ ] AB . On rejoint les points B et C pour obtenir le triangle. Le cercle a pour centre M, point de concours des médiatrices. Corrigé 10 La médiatrice du segment [BC la même droite, elles sont donc parallèles entre elles. DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE La médiatrice (d) coupe le segment [ ] AC perpendiculairement et en son milieu. On trace La médiatrice (d’) coupe le segment [ ] AB perpendiculairement et en son milieu. C pour obtenir le triangle. Le cercle a pour centre M, point de concours des médiatrices. ] BC et la hauteur issue de A sont deux droites perpendiculaires à la même droite, elles sont donc parallèles entre elles. Corrigés 3/8 perpendiculairement et en son milieu. On trace perpendiculairement et en son milieu. et la hauteur issue de A sont deux droites perpendiculaires à DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Corrigés 4/8 Corrigé 11 N appartient à la médiatrice de [ ] AB donc le triangle ABN est isocèle. Dans un triangle isocèle, les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont confondues. La médiatrice (MN) est donc également une hauteur du triangle ABN. (BC) est perpendiculaire à (AC) car le triangle est rectangle en C donc (BC) est la hauteur issue de B du triangle ABN. Les hauteurs (BC) et (MN) se coupent en M, donc M est l’orthocentre du triangle ABN. Par conséquent, la droite (AM) est la troisième hauteur du triangle ABN et (AM) est donc perpendiculaire à BN. Corrigé 12 Par construction de la première symétrie, on sait que D1 est perpendiculaire à [ ] AB et passe par son milieu donc D1 est la médiatrice de [ ] AB . De plus, O appartient à D1, on a donc OA=OB Par construction de la deuxième symétrie, on sait que D2 est perpendiculaire à [ ] BC et passe par son milieu donc D2 est la médiatrice de [ ] BC . De plus, O appartient à D2, on a donc OB=OC On a donc finalement OA=OB=OC. Si un point I vérifie IA=IB, alors il est sur la médiatrice de [ ] AB . On a OA=OC par conséquent O est sur la médiatrice de [ ] AC . Corrigé 13 On sait que C’ est le milieu de [ ] AB et que B’est le milieu de [ ] AC par conséquent (BB’) et (CC’) sont deux médianes du triangle ABC. On sait qu’elles se coupent en O. Ce point est donc le centre de gravité du triangle. La droite (AO) passe par le centre de gravité du triangle, elle est donc la troisième médiane du triangle. Une médiane passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. La droite (AO) coupe donc [ ] BC en son milieu. DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Corrigé 14 (AI) et (BC) sont perpendiculaires. Les uploads/S4/ droites-remarquables-corriges-pdf.pdf