Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

ROYAUME DU MAROC Minist` ere de l’´ Education Nationale, de l’Enseignement Sup´

ROYAUME DU MAROC Minist` ere de l’´ Education Nationale, de l’Enseignement Sup´ erieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientiﬁque Pr´ esidence du Concours National Commun 2008 ´ Ecole Nationale de l’Industrie Min´ erale ENIM Concours National Commun d’Admission aux Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs ou Assimil´ ees Session 2008 ´ EPREUVE DE MATH´ EMATIQUES I Dur´ ee 4 heures Fili` ere TSI Cette ´ epreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice est autoris´ e Concours National Commun – Session 2008 – TSI L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve, particuli` ere aux candidats de la ﬁli` ere TSI, comporte 3 pages. L’usage de la calculatrice est autoris´ e . Les candidats sont inform´ es que la qualit´ e de la r´ edaction et de la pr´ esentation, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements constitueront des ´ el´ ements importants pour l’appr´ eciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec pr´ ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ ees. Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ e ` a prendre. D´ eﬁnitions et notations Dans ce probl` eme, R d´ esigne l’ensemble des nombres r´ eels. Par “solution d’une ´ equation diff´ erentielle”, on fait r´ ef´ erence aux solutions ` a valeurs r´ eelles d´ eﬁnies sur R. Les trois parties du probl` eme sont largement ind´ ependantes ; seul le r´ esultat de la question 2 de la premi` ere partie est utile pour la suite. I. R´ esultats pr´ eliminaires 1. Soit h : R − →R continue telle que, pour tout (x, y) ∈R2, h(x + y) = h(x) + h(y) ; on pose H(x) = x 0 h(t) dt, x ∈R. (a) Montrer que, pour tout (x, y) ∈R2, y 0 h(x + t) dt = yh(x) + H(y). (b) En d´ eduire que , pour tout (x, y) ∈R2, H(x + y) −H(x) −H(y) = yh(x). (c) Exprimer de mˆ eme la quantit´ e xh(y), (x, y) ∈R2. (d) Justiﬁer alors que, pour tout r´ eel x, h(x) = xh(1) 2. Soient I un intervalle de R, x0 ∈I et f : I − →R continue ; pour tout x ∈I on pose F(x) = x x0 f(t) dt. (a) Justiﬁer que F est d´ erivable sur I et pr´ eciser sa d´ eriv´ ee. (b) Soit J un intervalle de R, et soient u : J − →R, v : J − →R deux fonctions d´ erivables ` a valeurs dans I. On pose F1(x) = v(x) x0 f(t) dt et F2(x) = v(x) u(x) f(t) dt, x ∈J. i. Montrer que F1 est d´ erivable sur J et pr´ eciser sa d´ eriv´ ee. ii. En d´ eduire que F2 est d´ erivable sur J et pr´ eciser sa d´ eriv´ ee. iii. Si de plus u et v sont de classe C1, justiﬁer que F1 et F2 le sont aussi. ´ Epreuve de Math´ ematiques I 1 / 3 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2008 – TSI 3. Application Soit g : R − →R continue et soit (a, b) un couple de r´ eels avec a < b. En effectuant un changement de variable, montrer que l’application G : x − → b a g(x + t) cos t dt est de classe C1 sur R et que, pour tout r´ eel x, G′(x) = g(b + x) cos b −g(a + x) cos a + b a g(x + t) sin t dt. II. ´ Etude d’une ´ equation fonctionnelle Soit f : R − →R continue telle que ∀(x, y) ∈R2, f(x)f(y) = x+y x−y f(t) dt. (1) On suppose de plus que f n’est pas la fonction nulle et on consid` ere un r´ eel a tel que f(a) ̸= 0. 1. Justiﬁer que f(0) = 0. 2. (a) V´ eriﬁer que, pour tout r´ eel x, f(x) = 1 f(a) x+a x−a f(t) dt. (b) Montrer alors que f est d´ erivable et calculer sa d´ eriv´ ee. (c) En d´ eduire que f est de classe C2. 3. Montrer que, pour tout couple (x, y) de r´ eels, f′(x)f(y) = f(x + y) −f(x −y) et f(x)f′(y) = f(x + y) + f(x −y). 4. On pose λ = −f′′(a) f(a) ; d´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que f est solution de l’´ equation diff´ erentielle z′′ + λz = 0. (Eλ) 5. ´ Etude de l’´ equation diff´ erentielle (Eλ) (a) On suppose que λ > 0 et on pose µ = √ λ. i. Donner la dimension et une base de l’espace vectoriel des solutions de l’´ equation diff´ erentielle (Eλ). ii. En d´ eduire que dans ce cas, il existe un r´ eel non nul A tel que f(x) = A sin(µx), x∈R, puis justiﬁer que A = 2 µ. (b) On suppose que λ < 0 et on pose µ = √ −λ. i. Donner de mˆ eme une base de l’espace vectoriel des solutions de l’´ equation diff´ erentielle (Eλ). ii. En d´ eduire que dans ce cas, il existe un r´ eel non nul A′ tel que f(x) = A′ sh(µx), x∈R, puis justiﬁer que A′ = 2 µ. (c) Si λ = 0 montrer que, pour tout r´ eel x, f(x) = 2x. 6. V´ eriﬁer que les fonctions trouv´ ees ci-dessus v´ eriﬁent bien l’´ equation fonctionnelle (1). III. ´ Etude d’une fonction On consid` ere la fonction f d´ eﬁnie par f(x) = x2 x dt ln t, o` u ln d´ esigne le logarithme n´ ep´ erien. ´ Epreuve de Math´ ematiques I 2 / 3 − → Concours National Commun – Session 2008 – TSI 1. Justiﬁer que si x > 0 et diff´ erent de 1 alors x et x2 sont d’un mˆ eme cˆ ot´ e de 1 sur la droite r´ eelle. 2. En d´ eduire que le domaine de d´ eﬁnition de la fonction f, not´ e Df, est ´ egal ` a ]0, 1[∪]1, +∞[. 3. Justiﬁer que la fonction f est d´ erivable en tout point de son domaine de d´ eﬁnition et exprimer sa d´ eriv´ ee en tout point de Df. 4. (a) ´ Ecrire le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 de la fonction ln au voisinage de 1. (b) Justiﬁer alors que 1 ln x = 1 x −1 + 1 2 + ◦ x→1(1). (c) En d´ eduire que les fonctions f′ et x − → 1 ln x − 1 x −1 poss` edent des limites ﬁnies en 1 ` a pr´ eciser. 5. ´ Etude de f au voisinage de 1 (a) Justiﬁer qu’il existe α ∈]0, 1[ tel que , pour tout x ∈]1−α, 1+α[\{1}, 1 ln x − 1 x −1 ⩽3/2. (b) En d´ eduire que, pour tout x ∈]1 −α, 1 + α[\{1}, f(x) −ln(1 + x) ⩽3|x2 −x| 2 puis trouver la limite de f en 1. (c) On prolonge f par continuit´ e en 1 et on note encore f la fonction ainsi obtenue. Montrer que cette fonction est d´ erivable en 1 et pr´ eciser sa d´ eriv´ ee. On ´ enoncera le th´ eor` eme utilis´ e. 6. ´ Etude de f au voisinage de 0 (a) Montrer que, pour tout x ∈]0, 1[, 0 ⩽f(x) ⩽−x ln x et en d´ eduire que f est prolongeable par continuit´ e ` a droite en 0. (b) On note encore f la fonction ainsi prolong´ ee en 0. Pr´ eciser f(0) et montrer que f est d´ erivable ` a droite en 0 ; quelle est la valeur de f′(0) ? 7. ´ Etude de f au voisinage de +∞ Montrer qu’au voisinage de +∞, la courbe repr´ esentative de f pr´ esente une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des y. 8. Dresser le tableau de variations de f sur [0, +∞[. 9. Montrer que la d´ eriv´ ee de f est strictement croissante sur [0, +∞[. 10. Tracer la courbe repr´ esentative de f (unit´ e 2 cm). 11. Calcul d’une int´ egrale (a) Montrer soigneusement que l’int´ egrale 1 0 t −1 ln t dt est convergente. (b) Montrer que, pour tout couple (x, y) d’´ el´ ements de l’intervalle ]0, 1[, x2 y2 dt ln t = x y u ln u du et en d´ eduire que f(x) −f(y) = y x 1 −t ln t dt. (c) En d´ eduire la valeur de l’int´ egrale 1 0 t −1 ln uploads/S4/ cnc-2008-tsi-maths-1.pdf