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Notes de cours de G´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle Alexandru Oancea Universit´ e P

Notes de cours de G´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle Alexandru Oancea Universit´ e Pierre et Marie Curie Master de math´ ematiques fondamentales, 1` ere ann´ ee 16 septembre 2016 1 2 Pr´ erequis Je vous encourage vivement ` a revoir la partie du cours de calcul diﬀ´ erentiel concernant le th´ eor` eme des fonctions implicites et le th´ eor` eme d’inversion locale (les ´ enonc´ es, les exemples, les exer- cices). Ce sont des th´ eor` emes qui jouent un rˆ ole important en g´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle. Nous les expliquerons ` a nouveau en cours, mais il est tou- tefois utile de r´ eviser. Conventions Pour all´ eger les notations, on d´ esigne par application lisse une ap- plication diﬀ´ erentiable de classe C8. Dans la premi` ere partie du texte, la source et le but d’une telle application sont (des ouverts dans) des espaces de Banach de dimension ﬁnie. Par la suite, la source et le but de telles applications seront des ouverts, ou encore des ensembles plus g´ en´ eraux, dans des vari´ et´ es lisses, que nous d´ eﬁnirons. De la mˆ eme mani` ere, l’on d´ esigne simplement par diﬀ´ eomorphisme un diﬀ´ eomorphisme lisse, c’est-` a-dire une application bijective qui est lisse et dont l’inverse est lisse. Lorsque l’on voudra insister sur le caract` ere non-lisse d’une vari´ et´ e ou d’une application entre vari´ et´ es, l’on sp´ eciﬁera le cas ´ ech´ eant sa classe de diﬀ´ erentiabilit´ e ou bien son caract` ere continu. L’on notera un isomorphisme canonique entre deux objets par le symbole – . Pour d´ esigner l’identiﬁcation de deux objets par un isomorphisme ca- nonique (en g´ en´ eral sous-entendu) on utilisera le symbole ” . Exemple : soit V un espace vectoriel de dimension ﬁnie. V – V ˚˚ signiﬁe que V est canoniquement isomorphe ` a son bi-dual. V ” V ˚˚ signiﬁe que l’on regarde les ´ el´ ements de V comme des ´ el´ ements du bi-dual dans une situation g´ eom´ etrique donn´ ee. L’on note un isomorphisme quelconque, ´ eventuellement non-canonique, entre deux objets par le symbole » . Exemple : si V est un espace vectoriel de dimension ﬁnie l’on a V » V ˚. 3 Bibliographie s´ elective Les trois premiers livres, ainsi que le premier chapitre du quatri` eme, contiennent ` a peu de choses pr` es le mat´ eriel que nous allons couvrir en cours. Il faut les feuilleter tous et en choisir un, selon votre goˆ ut. Les livres qui suivent dans la liste sont de beaux livres que vous pou- vez lire. Le M1 est le moment o` u vous pouvez commencer ` a lire de vrais livres de maths, si vous ne l’avez pas encore fait. Ce n’est que de cette mani` ere que vous pourrez acqu´ erir la culture math´ ematique qui vous permettra de former votre propre perspective sur les math´ ematiques. Le fait d’acqu´ erir une perspective personnelle sur les math´ ematiques que vous apprenez est sans doute l’un des buts ` a long terme que vous devez vous ﬁxer. (1) J. Lafontaine, Introduction aux vari´ et´ es diﬀ´ erentielles, EDP Sci- ences, 2010. (2) F. Paulin, G´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle ´ el´ ementaire, notes de cours de niveau M1, FIMFA, ENS Ulm, 2006-2007, disponible en ligne : http://www.math.u-psud.fr/„paulin/notescours/cours geodiff.pdf (3) C. Viterbo, Notes de cours de G´ eom´ etrie Diﬀ´ erentielle, notes de cours de niveau M1, FIMFA, ENS Ulm, 2013, disponible en ligne : http://www.math.ens.fr/„viterbo/Cours-Geo-Diff-2012/Poly-Geodiff-2013.pdf (4) S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, G´ eom´ etrie riemannienne, Sprin- ger, 1987, Chapitre 1. (5) F. Warner, Foundations of diﬀerentiable manifolds and Lie groups, Springer, GTM, 1983. (6) J. Milnor, Topology from the diﬀerentiable viewpoint, Princeton Univ. Press, 1997 (1965). (7) M. do Carmo, Diﬀerential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976. (8) J. Milnor, Morse theory, Princeton Univ. Press, 1963. (9) G. Bredon, Topology and geometry, Springer, GTM, 1994. (10) M. Spivak, Diﬀerential geometry, Publish or Perish, 1979, 5 vo- lumes. (11) B. Dubrovin, A. Fomenko, S. Novikov, Modern geometry, Sprin- ger, GTM, 3 volumes. La derni` ere r´ ef´ erence est un ouvrage panoramique. Il est utile pour obtenir une vue d’ensemble, mais il n’y a que peu ou pas de d´ emonstra- tions. Sa lecture doit ˆ etre compl´ et´ ee par d’autres r´ ef´ erences. 4 Table des mati` eres Pr´ erequis 2 Conventions 2 Bibliographie s´ elective 3 1. Des sous-vari´ et´ es de Rn aux vari´ et´ es abstraites 5 1.1. Quelques notions de calcul diﬀ´ erentiel revisit´ ees 5 1.2. Sous-vari´ et´ es de Rn 8 1.3. Trois digressions sur l’alg` ebre lin´ eaire, les cat´ egories, et les propri´ et´ es d’universalit´ e 11 1.4. Immersions et submersions 17 1.5. Vari´ et´ es abstraites, ou non-plong´ ees 19 1.6. Fonctions de troncature lisses. Plongements dans des espaces euclidiens 21 2. Fibr´ e tangent. Fibr´ es vectoriels 26 2.1. Espace tangent. Application tangente 26 2.2. Fibr´ e tangent. Champs de vecteurs 39 2.3. La notion de ﬁbr´ e vectoriel 42 3. Exemples et constructions de vari´ et´ es 49 3.1. Produit 49 3.2. Somme connexe 49 3.3. Vari´ et´ es aﬃnes 49 3.4. Vari´ et´ es projectives 50 3.5. Actions de groupes discrets 50 3.6. Groupes de Lie : exemples 55 3.7. Actions de groupes de Lie. La notion de ﬁbr´ e principal 58 3.8. Espaces homog` enes 61 4. Champs de vecteurs. Flots. Diﬀ´ eomorphismes 66 4.1. Un champ de vecteurs est une ´ equation diﬀ´ erentielle 66 4.2. Flots. Diﬀ´ eomorphismes. Redressement 69 4.3. Crochet de Lie. D´ eriv´ ee de Lie 76 4.4. Groupes de Lie et alg` ebres de Lie 85 5. Formes diﬀ´ erentielles. Int´ egration 96 5.1. Fibr´ e cotangent 96 5.2. Int´ egration des 1-formes 101 5.3. Formes diﬀ´ erentielles de degr´ e sup´ erieur 105 5.4. Vari´ et´ es orient´ ees. Int´ egrale des k-formes diﬀ´ erentielles 115 5.5. Formule de Stokes. Vari´ et´ es ` a bord. Diﬀ´ erentielle ext´ erieure. Cohomologie de De Rham 127 5.6. Compl´ ements sur la diﬀ´ erentielle ext´ erieure. Calcul de Lie 166 Annexe A. Courbes dans R2 173 Annexe B. Surfaces dans R3 182 5 1. Des sous-vari´ et´ es de Rn aux vari´ et´ es abstraites 1.1. Quelques notions de calcul diﬀ´ erentiel revisit´ ees. Dans cette section je ne donne pas de d´ eﬁnitions formelles, vous les avez tous vues en cours de calcul diﬀ´ erentiel. Je donne plutˆ ot quelques interpr´ etations informelles, n´ ecessairement subjectives. Diff´ erentiabilit´ e. Soit U Ă Rn un ouvert. Une application f : U Ñ Rm est diﬀ´ erentiable en un point p P U lorsqu’elle peut ˆ etre “bien approch´ ee” par une application lin´ eaire au voisinage de p. “Bien” signiﬁe ici que, localement pr` es de p, notre application diﬀ` ere d’une certaine application lin´ eaire d fppq : Rn Ñ Rm par un terme ` a variation sous-lin´ eaire : (1.1) fpp ` hq “ fppq ` d fppq ¨ h ` op|h|q. Pourquoi est-ce utile ? Parce-que les applications lin´ eaires sont les plus simples (apr` es les applications constantes) et donc, lorsque l’on veut comprendre une certaine application non-lin´ eaire, il est utile de la comparer (localement) ` a celles-ci. Cette d´ emarche est centrale en analyse math´ ematique : certains ob- jets “id´ eaux” sont plus simples ` a comprendre (n’est-ce pas ?). Dans l’´ etude d’un ph´ enom` ene r´ ealiste on proc` ede par ´ etapes : l’on ´ etudie d’abord ces objets id´ eaux (les applications lin´ eaires, ou bien les ap- plications multilin´ eaires), et l’on d´ eveloppe ensuite une “th´ eorie d’ap- proximation”. C’est ce que vous avez fait durant une bonne partie de vos ´ etudes de Licence : l’´ etude des applications lin´ eaires entre espaces vectoriels constituait le sujet de l’Alg` ebre lin´ eaire. L’´ etude des applica- tions bilin´ eaires vous occupe encore en M1 (voir par exemple le cours d’Alg` ebre G´ eom´ etrique). La th´ eorie d’approximation correspondante ´ etait le sujet du cours de Calcul diﬀ´ erentiel. L’un des buts du cours de G´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle est de vous apprendre ` a visualiser de mani` ere avis´ ee les objets et ph´ enom` enes que vous avez d´ ej` a rencontr´ es en cours de Calcul diﬀ´ erentiel, en cours d’Equations diﬀ´ erentielles, ou en cours d’Int´ egration. D’un certain point de vue, aucune des notions que nous allons discu- ter dans ce cours n’est vraiment nouvelle. Que ¸ ca soit en cours de Calcul diﬀ´ erentiel, ou bien d’Equations diﬀ´ erentielles, ou bien d’Int´ egration, vous les avez toutes d´ ej` a rencontr´ ees, parfois sous une forme dissimul´ ee. Vous apprendrez seulement ` a regarder avec un œil ´ eduqu´ e ces objets que vous avez d´ ej` a rencontr´ es. Mais pour cela il faut apprendre un lan- gage nouveau. Comme tout nouveau uploads/s3/ zzz-cours-16092016.pdf