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Th´ eorie Spectrale et M´ ecanique Quantique Christian G´ erard D´ epartement d

Th´ eorie Spectrale et M´ ecanique Quantique Christian G´ erard D´ epartement de Math´ ematiques, Bˆ at. 425 UMR 8628 du CNRS Universit´ e de Paris-Sud F-91405 Orsay C´ edex FRANCE email : Christian.Gerard@math.u-psud.fr October 16, 2003 1 Formalisme de la M´ ecanique Quantique Nous d´ ecrivons bri` evement dans ce chapitre le formalisme math´ ematique de la M´ ecanique quan- tique. 1.1 Espaces de Hilbert, ´ etats A un syst` eme physique on associe un espace de Hilbert (complexe) H, avec un produit scalaire (·, ·). Nous suivrons la convention des physiciens et le produit scalaire (u, v) sera lin´ eaire par rapport ` a v et antilin´ eaire par rapport ` a u. L’´ etat du syst` eme est d´ ecrit par un vecteur ψ ∈H, ∥ψ∥= 1. De tels vecteurs sont appel´ es des ´ etats purs. Les ´ etats purs correspondent ` a des situations o` u l’´ etat du syst` eme quantique est (en principe) compl´ etement d´ etermin´ e. On verra dans la suite la notion d’´ etats m´ elang´ es, utilis´ es en physique statistique quantique. 1.2 Observables A chaque grandeur physiquement mesurable sur le syst` eme on associe un op´ erateur A sur H, appel´ e une observable. Si le syst` eme est dans l’´ etat ψ, la valeur moyenne de la mesure de la grandeur correspondant ` a A est (ψ, Aψ). Comme on ne mesure que des nombres r´ eels, on obtient (ψ, Aψ) = (Aψ, ψ) =: (ψ, A∗ψ) i.e. par polarisation A = A∗. Les observables sont donc (au moins formellement) des op´ erateurs autoadjoints. Notons qu’il peut arriver que les op´ erateurs autoadjoints sur H ne soient pas tous associ´ es ` a des grandeurs physiquement mesurables (ce ph´ enom` ene est connu en physique sous le nom de r` egles de superselection). 1 La valeur moyenne (ψ, Aψ) n’est pas n´ ecessairement born´ ee uniform´ ement sur tous les ´ etats. Des exemples typiques sont les observables correspondant ` a la position, au moment ou ` a l’´ energie d’une particule quantique. La traduction math´ ematique de ce fait est que l’op´ erateur A peut ˆ etre non born´ e i.e. d´ eﬁni seulement sur un sous-espace lin´ eaire dense D(A) de H, appel´ e domaine de A. La condition traduisant le caract` ere r´ eel de (ψ, Aψ) prend la forme plus forte suivante : 1) (ψ1, Aψ2) = (Aψ1, ψ2), ∀ψ1, ψ2 ∈D(A) (on dit alors que A est sym´ etrique). 2) Si |(ψ1, Aψ2)| ≤c∥ψ2∥, ∀ψ2 ∈D(A), alors ψ1 ∈D(A). De tels op´ erateurs sont dits auto-adjoints. On en d´ eduit le postulat suivant: Les quantit´ es physiques mesurables sont associ´ ees ` a des op´ erateurs auto-adjoints sur H. Exemple 1: une particule quantique sur la droite r´ eelle H = L2(R), ´ etat ψ = fonction de carr´ e int´ egrable avec R |ψ(x)|2 dx = 1. Observables — position : x : ψ 7→xψ (xψ)(x) = xψ(x). D(x) = {ψ ∈L2(R) | xψ ∈L2(R)} . — moment : Dx : ψ 7→Dxψ = 1 i ∂ψ ∂x D(Dx) = {ψ ∈L2(R) | Dxψ ∈L2(R)} = H1(R) . — Energie cin´ etique: H0 = 1 2D2 x : ψ 7→−∂2ψ ∂x2 D(H0) = n ψ ∈L2(R) | ∂2ψ ∂x2 ∈L2(R) o = H2(R) . Remarque [Dx, ix] = 1 au sens que (Dxv, ixu) −(xv, i Dxu) = (v, u), u, v ∈D(x) ∩D(Dx). Exemple 2: une particule quantique dans une boˆite H = L2([0, 1]), ´ etat ψ = fonction de carr´ e int´ egrable avec R 1 0 |ψ(x)|2 dx = 1. Observables — position : x : ψ 7→xψ, D(x) = H (x devient un op´ erateur born´ e). — moment : il n’existe pas d’op´ erateurs p auto-adjoint sur H tel que [p, ix] = 1. (Il en existe par contre des sym´ etriques). — Energie cin´ etique : H0 = 1 2 D2 x D(H0) = {ψ ∈H2(R) | ψ(0) = ψ(1) = 0} . Le choix du domaine traduit la r´ eﬂection de la particule sur les parois de la boˆite. 2 1.3 Mesure en M´ ecanique Quantique Nous d´ ecrivons maintenant le ph´ enom` ene de la mesure en m´ ecanique quantique, suivant linterpr´ etation de Born, qui conduit ` a la notion math´ ematique de mesure spectrale d’un op´ erateur autoadjoint. Dans les exemples 1 et 2, soit Ω⊂R (resp. Ω⊂[0, 1]) un bor´ elien (par exemple un intervalle). La quantit´ e R Ω|ψ(x)|2 dx repr´ esente la probabilit´ e de trouver la particule dans l’´ etat ψ dans l’ensemble Ω. On peut r´ e´ ecrire l’int´ egrale comme : Z ψ(x)1 lΩ(x) ψ(x) dx =: (ψ, 1 lΩ(x) ψ) , o` u 1 lΩ(x) est l’op´ erateur de multiplication par la fonction 1 lΩ(x). On remarque les faits suivants : 1) 1 lΩ(x) est une projection orthogonale : 1 lΩ(x) = 1 lΩ(x)∗, 1 lΩ(x)2 = 1 lΩ(x), 2) 1 lΩ1(x) 1 lΩ2(x) = 1 lΩ1∩Ω2(x), 3) si Ω= ∞ ∪ 1 Ωn, Ωn disjoints deux ` a deux: 1 lΩ(x) ψ = ∞ X 1 1 lΩi(x) ψ , 4) 1 lφ(x) = 0, 1 lR(x) = 1 l. Une application qui a tout bor´ elien Ω⊂R associe une projection 1 lΩavec les propri´ et´ es 1) ... 4) est appel´ ee une mesure ` a valeurs projections ; ou une mesure spectrale. Le th´ eor` eme spectral de Von Neumann associe ` a tout op´ erateur auto-adjoint une mesure spectrale et r´ eciproquement. Le th´ eor` eme spectral est une g´ en´ eralisation de la diagonalisation des matrices hermitiennes : en eﬀet supposons que A est un op´ erateur auto-adjoint, diagonalisable avec les valeurs propres {λj}j∈N et espaces propres {Ej}j∈N. On associe alors ` a A la mesure spectrale : Ω7− → X λj∈Ω Pj Pj projection orthogonale sur Ej. Il est agr´ eable pour des raisons de notation d’introduire ‘l’´ el´ ement d’int´ egration’ dEλ d´ eﬁni formellement par Z Ω dEλ := 1 lΩ(A) que l’on peut ´ ecrire dEλ = P j∈N Pj δλj. Remarquer que Pj = 1 l{λj}(A), et on peut ´ ecrire (formellement pour le moment) A = X λj Pj‘ =′ Z R λdEλ . A l’aide du th´ eor` eme spectral, on obtient le postulat suivant: si A est une observable, ψ ∈H un ´ etat, Ω⊂R un bor´ elien, (ψ, 1 lΩ(A)ψ) repr´ esente la probabilit´ e d’obtenir un r´ esultat dans Ωpour la mesure de l’observable A dans l’´ etat ψ. 3 1.4 Rayons Pour ´ etudier l’action sur un syst` eme physique d’un groupe de transformations, il est utile d’introduire la notion de rayons, qui g´ en´ eralise la notion d’´ etats. On peut associer un ´ etat ` a tout vecteur ψ ̸= 0 de H, en consid´ erant le vecteur normalis´ e ψ ∥ψ∥. Les probabilit´ es, valeurs moyennes, etc. deviennent (ψ, 1 lΩ(A)ψ) ∥ψ∥2 , (ψ, Aψ) ∥ψ∥2 . On voit que ces quantit´ es ne changent pas si on remplace ψ par λψ, λ ∈C \ {0}. On appelle alors rayon l’espace unidimensionel ˆ ψ := {λψ, λ ∈C} . L’ensemble des rayons est l’espace projectif PH, not´ e ˆ H. On munit ˆ H de la topologie quotient. On postule alors qu’il y a une bijection entre les ´ etats du syst` eme et les ´ el´ ements de ˆ H. Si ˆ φ1, ˆ φ2 sont deux rayons, la probabilit´ e de transition de ˆ φ1 ` a ˆ φ2 est : ⟨ˆ φ2, ˆ φ1⟩= |(φ2, φ1)|2 o` u φi ∈ˆ φ, ∥φi∥= 1, i = 1, 2. 1.5 Sym´ etries, th´ eor` eme de Bargmann-Wigner Deﬁnition 1.1 Une bijection T : ˆ H →ˆ H est une sym´ etrie si ∀ˆ φ1, ˆ φ2 ∈ˆ H ⟨T ˆ φ1, T ˆ φ2⟩= ⟨ˆ φ1, ˆ φ2⟩. Une sym´ etrie est donc une transformation sur les rayons qui pr´ eserve les probabilit´ es de transi- tions. Exemples Rappels : une application U : H →H est unitaire si U est C−lin´ eaire et U∗= U−1, i.e. U bijective et (Uψ, Uφ) = (ψ, φ) une application U : H →H est anti-unitaire si U est C−anti-lin´ eaire (U(αψ + βφ) = αUψ + βUφ) et U bijective, (Uψ, Uφ) = (φ, ψ). A une transformation U, H →H qui est lin´ eaire ou anti-lin´ eaire on peut associer ˆ U : ˆ H →ˆ H par passage au quotient : ˆ U ˆ ψ := d Uψ. On dit que ˆ U est impl´ ement´ ee par U. Si U est unitaire ou anti-unitaire, ˆ U est une sym´ etrie. Th´ eor` eme 1 (Bargmann-Wigner) Toute sym´ etrie T de ˆ H est de la forme T = ˆ U pour U unitaire ou anti-unitaire. Si ˆ U1 = ˆ U2 = T, alors U2 = eiθU1, θ ∈R. Notons qu’il existe des sym´ etries impl´ ement´ ees par des op´ erateurs uploads/s3/ lecon1-pdf.pdf