A 2007 PHYS. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SU

A 2007 PHYS. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2007 SECOND ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L’usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE 2 -MP L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages. x Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. x Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. x Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tien- dra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. GRATTE-CIELS et TOURS L’épreuve est constituée de sept parties largement indépendantes entre elles. Cependant, il est crucial d’obtenir l’expression correcte de 1 H à la question 2. Dans tout le problème, exprimer signifie donner l’expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique. La minimisation des oscillations provoquées par le vent est une difficulté à laquelle sont confrontés les concepteurs de structures de génie civil (ponts, viaducs, antennes …). L’objet de ce problème est l’étude d’un dispositif efficace pour cette minimisation, le « Tuned Mass Damper » (TMD). C’est un oscillateur accordé et amorti, généralement dissimulé au sommet de la structure, et couplé au mouvement de cette dernière, de telle manière que, idéalement, il oscille en opposition de phase avec elle et « détourne » ainsi de l’énergie. Dans un repère galiléen, le mouvement du sommet S de la tour et celui du TMD s’effectuent selon une direction horizontale fixe. On note x t l’élongation linéaire de S et u t celle du TMD par rapport à la tour. À l'équilibre mécanique, 0 x t u t . Physique II 2007 ; filière MP. Le système {tour, TMD} est ainsi modélisé (Fig. 1) par deux oscillateurs unidimensionnels couplés mis en mouvement par la force extérieure 0 f t . Le premier oscillateur (la tour) est modélisé par une masse m soumise à la force de rappel élastique élas. f kx  et à la force de frottement fluide hx M   . Le second oscillateur (le TMD) est modélisé par une masse soumise à la force de rappel élastique 1 m 1 1 f k u et à la force de frottement fluide 1 1 h u M   . Les constantes , , et sont positives. k h 1 k 1 h 1 – Mise en équation On suppose que les oscillations de la tour s’effectuent sans frottement . L’application de lois fondamentales de la dynamique, d’une part aux systèmes {tour, TMD}, d’autre part au seul système {TMD}, donne les deux équations (système [A]) 0 h > @ 1 0 1 1 1 A . mx m x u kx f t m x u k u h u              ‰1 – Établir le système [A] avec concision. On réécrit [A] sous la forme [B] 1 (B1) 2 0 2 0 0 2 1 1 (1 .)x .u & x a (t) x u  & u & u            (B2) ExprimerD, Z0, Z1, 1 K et a0(t) en fonction des grandeurs intervenant dans la modélisation. Préciser la signification physique des grandeurs Z0 et Z1. ‰ 2 – On s’intéresse à la réponse du système à l’excitation t i A t a Z ƒ exp ) ( 0 0 , où le symbole représente la partie réelle et ƒ 2 1 i  . Les amplitudes complexes de u(t), a0(t) et x(t) sont notées respectivement U, A et X. On pose enfin 1 0 1 k k Z E E D Z § · ¨ © ¹ ¸. Exprimer la fonction de transfert 1 U H z X en fonction de E et de 0 z Z Z . Quelle est la nature de cette fonction ? Est-il avantageux d’avoir 1 H plutôt grand ou plutôt petit ? ‰ 3 – Les occupants de la tour sont sensibles à l'accélération b x . Établir l’expression de Page 2 sur 6. Physique II 2007 ; filière MP. la fonction de transfert 2 2 2 0 1 1 1 B z H z A H z D D    , où B est l'amplitude com- plexe de b(t). Est-il avantageux d’avoir 2 H plutôt grand ou plutôt petit ? 2 – Analyse qualitative du système Nous analysons quelques cas particuliers du comportement du système {tour, TMD} en régime libre, c’est-à-dire en l’absence de force extérieure 0 f t . L’ensemble aura été mis en mouvement, par exemple, par un déplacement initial du TMD en l'absence de vent. On continue de supposer que . 0 h 2 – 1 Cas où 1 0 K ‰ 4 – Réécrire le système [B] et les expressions de 1 H et de 2 H dans le cas où 1 0 K . Pourquoi est-il préférable de choisir D le plus grand possible ? Quelles sont les limites pratiques d’une augmentation de D ? x Limite 0 D o ‰ 5 – On considère le comportement du système {Tour, TMD} lorsque D tend vers 0. Réécrire dans ce cas le système [B] et les expressions limites de 1 H et de 2 H . Quel rôle joue alors le TMD sur le mouvement propre de la tour ? Quel rôle joue la tour sur le mou- vement propre du TMD ? Montrer que le mouvement du TMD est en phase ou en opposition de phase avec celui de la tour. ‰ 6 – Conclure sur le rôle du paramètre . 1 h x Limite D o f (un cas irréaliste !) ‰ 7 – Qu’advient-il de 1 H et de 2 H lorsque la masse du TMD tend vers l’infini ? x Cas général pour D ‰ 8 – Pour quelle valeur de z , notée , la fonction AR z 1 H est-elle infinie ? Que vaut alors la fonction de transfert 2 H ? C’est le phénomène d’antirésonance. ‰ 9 – Montrer qu'il existe deux valeurs de z , notées et avec , pour les- quelles le gain 1 R z 2 R z 1 R R z z 2 2 G H 2 2 2 devient infini (résonances d'amplitude). Établir l’inégalité . Calculer et pour 1 R AR R z z z 1, R R z z AR z 0,1 D et 0,95 E . Tracer l’allure de la courbe représentative de 2 G z . 2 –2 Cas où 1 K est infini ‰ 10 – Analyser le système étudié dans le cas limite 1 K o f . Exprimer et calculer la valeur de z , notée , pour laquelle est maximum ( zf 2 G 0,1 D et 0,95 E ). Tracer l’allure de la courbe représentative de 2 G z . Page 3 sur 6. Physique II 2007 ; filière MP. 2 –3 Cas où 1 K est quelconque ‰ 11 – La valeur de 1 K est désormais quelconque. Justifier la pertinence du choix .   1 1 . Peut-on effectivement fixer E à sa guise ? Sur quels paramètres est-il possible de jouer sans remettre en question le choix des architectes ? 3 - Choix des paramètres On adoptera dans toute la suite la relation .   1 1 ; pour les valeurs numériques, on prendra 0,1 D (et donc 0,953 E | ). ‰ 12 – La Fig. 2 montre les courbes de gain 2 G z correspondant à 1 0,1, K 1 0,3 K et 1 0,6 K . Associer à chaque courbe A, B et C la valeur de 1 K qui lui correspond en justifiant qualitativement votre réponse. ‰ 13 – La figure 2 semble montrer que, quel que soit 1 K , toutes les courbes de gain passent par deux points fixes, d’abscisses respectives et . C’est bien le cas ! Quelle méthode utiliseriez-vous pour établir cette propriété curieuse ? Seule la méthode est demandée, il n’est pas question ici de poursuivre les calculs jusqu’à leur terme. Les abscisses et vérifiant A z B z A z B z 2 4 2 2 1 1/ 4 2 0 z z E E    , calculer uploads/s3/ gratte-ciels-et-tours-a-2007-phys-ii-mp.pdf

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Administrationfonction système physique valeur mouvement
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