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Formation PAF 2008/2009 Les fonctions au collège - Page 1 sur 12 Les fonctions

Formation PAF 2008/2009 Les fonctions au collège - Page 1 sur 12 Les fonctions au collège Sommaire I. Comment aborder la not au collège ? ion de fonction II. Quelles activités pour mettre en place la notion de « fonction » ? Activité n°1 .- Émissions de CO2 en France métropolitaine Utilisation d’un graphique Exemple t lui de mathématiques. ec e correspondance, images et antécédents. iré d'un manuel autre que ce L ture d'un graphique, notion d Activité n°2 - Tarifs courrier Utilisation d’un tableau de valeurs Lec spondance, images et antécédents, introduction du mot ction de » ture d'un tableau, notion de corre « fonction » dans l'expression « en fon Activité n°3 - La machine qui calcule Utilisation d’une expression numérique y de la notion de fonction en tant que processus faisant bre calculé. y Notion de correspondance. Émergence correspondre un nombre à un autre nom y Images et antécédents. Utilisation des touches de la calculatrice. y Approche des notations f (x) et ( ) x f x 6 . Activité n°4 - La boîte Passage entre les di d'extrema ; notion de sens fférentes formes ; utilisation d'une formule ; nombre de solutions ; notion de variation. QUESTION Peut-on relier les points ? Cela a-t-il un sens de les relier ? Si oui comment ? 1er élément de réponse : on peut placer un point entre deux points en affinant le pas. III. Tableau, graphique, expression : que choisir ? Pour introduire une fonction, le choix de la forme semble être d Cependant, le tableau, le graphique ou l'expression peuvent présenter icté par la situation traitée. des inconvénients. 1. Inconvénients d’un tableau de valeurs Problème d’une variable le plus souvent discrète. On ne peut p as placer un point entre deux points Activité n°5 - L'électricité en France 2. Inconvénients du graphique ª Que se passe-t-il entre deux points ? ªOn a vu qu’on peut placer un point entre deux points en affinant le pas (activité n°4) ; qu’on ne peut pas placer un point entre deux points (activité 5). Activité n°6 - Les distances d’arrêt ªOn peut relier deux points par un segment par exemple dans le cas d'une situation de proportionnalité ou dans le cas d'une fonction monotone sur un intervalle. ª On peut donner un exemple de représentation d'une fonction affine par morceaux : voir activité n°2 (Tarifs courrier) 3. Inconvénients de l'expression ª On peut exprimer par une formule un périmètre ou une aire, mais certaines grandeurs mesurables ne se traduisent pas toujours par une formule accessible à des élèves de troisième. ª Pour l'élève, la formule ne traduit pas toujours un calcul : cos x. IV. Quelles compétences sont attendues ? Que met‐on dans le cours ? Formation PAF 2008/2009 Les fonctions au collège - Page 2 sur 12 I. Comment aborder la notion de fonction au collège ? Objectifs y L'un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre. y Un autre objectif est d’étudier les variations d’une grandeur en fonction d’une autre. y Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires. Les fonctions linéaires et affines apparaissent comme des exemples particuliers de tels processus. Remarques concernant les programmes Quoi de nouveau ? Trois entrées sont préconisées pour introduire les fonctions : y un tableau de valeurs, y une expression littérale, y un graphique. Pour préparer la notion de fonction dès la classe de sixième, on parle de courbe, de programme de calcul, de tableur… La classe de troisième est l’occasion du premier véritable contact des élèves avec la notion de fonction numérique (sous son aspect formel), dans sa conception actuelle qui fait correspondre à tout élément d’un ensemble un élément d’un autre ensemble. Il ne s’agit pas de donner une définition générale de la notion de fonction. Les exemples travaillés ne doivent pas être limités à des fonctions linéaires ou affines. Des exemples de fonctions simples sont également utilisés, en particulier pour montrer que toute représentation graphique ne se réduit pas à un ensemble de points alignés Pourquoi étudier des situations non‐affines ? Deux éléments de réponses : y Pour se poser la question du sens de variation, du maximum du minimum d’une fonction. y Pour rencontrer des représentations graphiques où les points ne sont pas alignés. Pourquoi préparer la notion de fonction dès la sixième ? Des éléments de réponses : y Il faut que les élèves sachent dresser un tableau de valeurs, placer des points dans un repère, tracer un graphique, graduer des droites et qu’ils s’habituent à passer d’un langage à un autre (formule-tableau-graphique). y Il faut que les élèves s’habituent à observer des grandeurs qui varient les unes en fonction des autres : pour cela on peut utiliser un logiciel de géométrie et un tableur. y Il faut que les élèves fassent évoluer les notations : p de 3,5 kg = 26 € à p(3,5 kg) = 26 € à p(3,5) = 26. Formation PAF 2008/2009 Les fonctions au collège - Page 3 sur 12 II. Quelles activités pour mettre en place la notion de « fonction » ? 1. Activités par « formes » Activité n° 1 ‐ Émissions de CO2 en France métropolitaine Source : « L’énergie en France – Repères », édition 2005 © Ministère de l'Économie, des Finances et de l'Industrie, DGEMP NOTE MÉTHODOLOGIQUE Les émissions de CO2 sont calculées par l'Observatoire de l'Énergie à partir des quantités de houille, de produits pétroliers, et de gaz naturel utilisés pour la production d'énergie. Les consommations pour d'autres usages tels que les bases chimiques, les lubrifiants, le bitume, etc., ne sont pas comptabilisées. Une teneur en carbone propre est affectée à chacune de ces énergies. De plus, il est tenu compte des corrections climatiques pour la part utilisée dans le résidentiel-tertiaire. 1. Quelle est la quantité de CO2 rejetée en 1980 ; en 2000 ; en 2004 ? 2. En quelle année la consommation était de 120 millions de tonnes ? 3. En quelle année la quantité de CO2 rejetée a été maximale ? Minimale ? 4. Commenter les informations qu’apporte ce graphique. COMMENTAIRES : CE QUE PEUT APPORTER UNE TELLE ACTIVITÉ 1. Lecture d’un graphique issu de situations interdisciplinaires (Histoire-Géographie ; SVT … ou autre). Ici il s’agit d’un graphique qui illustre l’émission de CO2 en France. (cf. : Lire et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique). 2. Faire émerger la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre à un nombre un autre nombre. 3. Lecture directe sur une représentation graphique de l’image d’un nombre et des antécédents d’un nombre. Il s’avère que ce graphique est mathématiquement inexact car les concepteurs ont tracé une courbe à partir d’une situation qui ne peut être que discrète, les relevés de CO2 ne se faisant pas de façon continue. Formation PAF 2008/2009 Les fonctions au collège - Page 4 sur 12 Activité n° 2 ‐ Tarifs courrier Poids jusqu'à Tarif net 20 g 0,55 € 50 g 0,88 € 100 g 1,33€ 250 g 2,18 € 500 g 2,97 € Tarif courrier au 1er mars 2008 Départ de la France métropolitaine Envois de correspondances Lettre Prioritaire 1 kg 3,85 € Source : La poste 1. Comment doit-on affranchir une lettre de 20g ; de 50g ; de 30g ? 2. Timéo a affranchi une lettre avec un timbre de 3,85€. Peut-on deviner la masse de la lettre ? 3. Par quelle expression peut-on traduire le fait que le tarif d'une lettre dépend de son poids ? COMMENTAIRES : CE QUE PEUT APPORTER UNE TELLE ACTIVITÉ y Lecture directe dans un tableau de l'image d'un nombre, de l'antécédent d'un nombre. y Faire émerger la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre à un nombre un autre nombre. y Introduction de l'expression « en fonction de ». Activité n°3 ‐ La machine qui calcule Exemple n°1 Voici la première machine, " P ", qui calcule le périmètre d'un carré connaissant la mesure du côté. Périmètre d’un carré ? 3 La machine " P " transforme : 3 en ……… On note 3 ….. 6 On note aussi P(3) = …… 5 en ……… On note 5 ….. 6 On note aussi P(5) = ….. ... en 36 On note …. 36 6 On note aussi P(..) = 36 x en ……… On note x ….. 6 On note aussi P(x) = …… Exemple n°2 Aire d’un carré ? 3 La deuxième machine "A" détermine l'aire d'un carré connaissant la mesure du côté. La machine " A " transforme : 3 en ……… On note 3 ….. 6 On note aussi A(3) = …… 5 en ……… On note 5 ….. 6 On note aussi A(5) = ….. ... en 36 On note …. 36 6 On note aussi A(..) = 36 x en ……… On note x ….. 6 On note aussi A(x) = …… Formation uploads/s3/ fonc-clg.pdf