Chapitre 3 : GROUPES SYMETRIQUES - page 1 IUFM de La Réunion – Frédéric BARÔME

Chapitre 3 : GROUPES SYMETRIQUES - page 1 IUFM de La Réunion – Frédéric BARÔME GROUPES SYMÉTRIQUES REPÈRES Historique :  Rencontré dans bien des situations mathématiques dès qu'il est besoin de permuter les éléments d'un ensemble fini, l'ensemble Sn a vu sa structure étudiée et nommée (le terme "groupe" fut choisi à cette occasion) par Galois, en 1832, dans son étude de la résolution des équations algébriques.  La grande diversité de structures de ses sous-groupes le place au cœur de l'étude des groupes. Il permet notamment d'apporter un éclairage nouveau sur les isométries conservant les polyèdres réguliers (solides de Platon). Et son sous- groupe An participe à la classification des groupes simples non commutatifs à la fin du XXème siècle. I. GÉNÉRALITÉS  STRUCTURE 1.1. Le groupe symétrique d'un ensemble X est (S(X), ), où S(X) est l'ensemble des bijections de X → X (dites permutations de X). À isomorphisme près, S(X) ne dépend que de Card(X). Le groupe symétrique d'ordre n est (Sn, ), où Sn est l'ensemble des permutations de {1, 2, ..., n}.  Par exemple, le groupe linéaire GL(E), des automorphismes de l'espace vectoriel E, est un sous-groupe de S(E).  Dans les anciens manuels, Sn est souvent noté n.  Dans Sn, le neutre est l'identité de {1, 2, ..., n}, qu'on notera Id pour tout n.  Le composé σσ' sera noté en général par le produit σσ' (on prendra garde au fait que c'est bien σ' qui agit en premier). 1.2. |Sn| = n !  ÉLÉMENTS 2.1. Un élément quelconque σ de Sn sera noté     1 2  n σ(1) σ(2)  σ(n) . Le support de σ est l'ensemble {i ∈ {1, ..., n} ; σ(i) ≠ i}. On le note supp(σ). 2.2.1. Pour p ≥ 2, (i1 i2 ... ip) désigne la permutation circulaire (ou cycle) de longueur p (ou p-cycle), élément σ de Sn tel que :    σ(i1) = i2 σ(i2) = i3 ... σ(ip) = i1 σ(j) = j si j ∉ {i1, ..., ip} . 2. Un 2-cycle est une transposition.  On dira souvent qu'un nombre appartient à un cycle, au lieu de dire qu'il appartient à son support. De même, on parlera de cycles disjoints au lieu de cycles à supports disjoints.  Un p-cycle est d'ordre p.  Souvent utile : si γ = (i1 i2 ... ip), alors γ -1 est le p-cycle (ip ip-1 ... i2 i1).  γ p−1 est un cycle, mais, pour 2 ≤ r ≤ p − 2, γ r n'est pas nécessairement un cycle.  COMMUTATIONS 3.1.1. Sn est non commutatif pour n ≥ 3. 2. σ et σ' à supports disjoints  σ et σ' commutent.  S3, d'ordre 6, est le groupe non commutatif de plus petit ordre (à isomorphisme prés). 3.2. Pour n ≥ 3, on a : Z(Sn) = {Id}.  Pour compléter l'étude de la conjugaison (voir II ) , il est classique de chercher à préciser les automorphismes intérieurs d'un groupe. 3.2. permet de montrer que, pour n ≥ 3, on a : Int(Sn) ≈ Sn.  Poser ϕ : Sn → Int(Sn) ; δ  l'automorphisme intérieur iδ : Sn → Sn ; σ  δσδ-1.  Faux pour n = 2 : Int(S2) = {Id}. Voir aussi les VI  et . Chapitre 3 : GROUPES SYMETRIQUES - page 2 IUFM de La Réunion – Frédéric BARÔME II. GÉNÉRATIONS DE Sn  σ-ORBITES Nous verrons dans le chapitre 4 que (σ, i)  σ(i) constitue une opération naturelle de Sn sur {1, ..., n}, pour laquelle l'orbite de tout i est évidemment {1, ..., n}. Mais, on peut également faire opérer sur {1, ..., n} n'importe quel sous-groupe de Sn, en particulier les < σ > : 1.1. Quand on fait opérer < σ > sur {1, ..., n}, l'orbite de i est appelée σ-orbite (ou σ-trajectoire) de i. On la note ωσ(i). ωσ(i) = {σk(i) ; k ∈ }. Si i ∉ supp(σ), alors : ωσ(i) = {i}. On dit que c'est une orbite ponctuelle.  Dans la pratique, ωσ(i) est l'ensemble des j de {1, ..., n} qu'on rencontre en partant de i et en faisant agir σ jusqu'à retrouver i.  Par exemple, dans S6, si σ = ( ) 1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3 , on a : ωσ(1) = ωσ(3) = ωσ(6) = {1, 3, 6} ωσ(2) = ωσ(5) = {2, 5} ωσ(4) = {4} : orbite ponctuelle.  Un p-cycle possède 1 orbite non ponctuelle (son support) et (n − p) orbites ponctuelles. C'est de plus une propriété caractéristique.  La restriction de σ à une de ses orbites non ponctuelles est un cycle.  Les σ-orbites forment une partition de {1, ..., n}.  DÉCOMPOSITION EN CYCLES DISJOINTS Les deux remarques précédentes entraînent : 2.1. Toute permutation ≠ Id se décompose en produit de cycles disjoints (décomposition unique, à l'ordre près).  Par exemple, dans S6 : ( ) 1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3 = (163)(25). 2.2. Toute permutation se décomposant en cycles disjoints de longueurs p1, ..., pk est dite de type {p1, ..., pk }.  SYSTÈMES GÉNÉRATEURS MINIMAUX DE Sn 3.1. Tout cycle se décompose en produit de transpositions.  Par exemple : (i1 i2 ... ip) = (i1 i2)(i2 i3)...(ip-1 ip).  Mais, à part dans S2 bien sûr, la décomposition n'est pas unique (par exemple : (i j) = (i k)(j k)(i k)). 3.2. Les systèmes suivants sont générateurs de Sn :  les cycles.  les n(n − l) 2 transpositions.  les n − 1 transpositions de la forme (1 i). C'est un système minimal.  les n − 1 transpositions de la forme (i i+1). C'est un système minimal.  la transposition (12) et le cycle (12...n). C'est un système minimal. Sn est dit dicyclique.  Pour le dernier système, on calculera (12...n)k(12)(12...n)−k.  CARACTÉRISATION DES CLASSES DE CONJUGAISON Rappelons que deux permutations σ et σ' sont dites conjuguées si : ∃ δ ∈ Sn ; σ' = δσδ-1, et que la conjugaison est une relation d'équivalence : les classes de conjugaison forment une partition de Sn. Nous allons préciser cette partition : 4.1. Soit δ une permutation et γ = (i1 i2 ... ip) un p-cycIe. Alors : δγδ-1 est le p-cycle (δ(i1) ... δ(ip)).  Par conséquent, la conjugaison conserve la longueur d'un cycle : le conjugué d'un p-cycle est un p-cycle. 4.2. Deux permutations sont conjuguées ⇔ elles sont de même type.  On pourra utiliser δ = ( ) a1 ... ar b1 ... bs ... a'1 ... a'r b'1 ... b's ... où (a1...ar)(b1...bs)... et (a'1...a'r)(b'1...b's)... sont deux permutations de même type.  En particulier, la classe de conjugaison d'un p-cycle est exactement l'ensemble des p-cycles. Chapitre 3 : GROUPES SYMETRIQUES - page 3 IUFM de La Réunion – Frédéric BARÔME III. PARITÉ ET GROUPE ALTERNÉ An  CONSTRUCTION • a) POSITION DU PROBLÈME : Si on replace l'étude de Sn dans le contexte historique de la résolution des équations algébriques, le besoin s'est fait de trouver le plus grand sous-groupe distingué propre de Sn (voir Sujets d'étude). Il est naturel de commencer par chercher un sous-groupe H d'indice 2 (alors nécessairement distingué) : nous allons montrer qu'il en existe un et qu'il est unique. • b) MISE EN PLACE DE LA CONSTRUCTION :  i) Établir l'existence et l'unicité de H équivaut à le faire pour un morphisme ϕ surjectif de Sn à valeurs dans un groupe d'ordre 2, dont H sera le noyau. Choisissons par tradition ({1, -1}, .), plutôt que (/2, +), comme groupe d'ordre 2. Alors : H = {σ ∈ Sn ; ϕ(σ) = 1}.  ii) Commençons par étudier l'image des transpositions, génératrices de Sn par cet éventuel ϕ. Supposons : ∃ τ transposition ; ϕ(τ) = 1. Alors : τ ∈ H. Mais : H  Sn  H invariant par conjugaison  H contient la classe de conjugaison de τ, qui n'est autre, d'après II 4.2., que l'ensemble de toutes les transpositions  H = Sn (puisque les transpositions engendrent Sn) : impossible car H doit être d'indice 2 ! Par conséquent, si ϕ existe : ∀ τ transposition ; ϕ(τ) = −1.  iii) Il reste à définir un prolongement à Sn tout entier. • c) 1ÈRE MÉTHODE : ϕ devant être un morphisme, on déduit, s'il existe, que pour tout σ de Sn se décomposant en produit de transpositions τ1...τt : ϕ(σ) = ϕ(τ1...τt) = ϕ(τ1)...ϕ(τt) = (-1)t. Mais, la décomposition en produit de transpositions n'étant pas unique, il ne faut pas que (-1)t en dépende si l'on veut que ϕ soit défini par ce moyen ! Il suffit pour cela de montrer que (voir VII Annexe) : 1.1. Dans la décomposition d'une permutation, le nombre de transpositions a toujours même parité. • d) 2ÈME MÉTHODE uploads/s3/ barome-groupes-symetriques-pdf.pdf

Tags
Administrationgroupe alors démontrer groupes sous-groupe
Documents similaires
  • 36
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager