Lycée Laetitia Bonaparte Spé PT Banque PT 2018 – Épreuve A Problème d’algèbre l

Lycée Laetitia Bonaparte Spé PT Banque PT 2018 – Épreuve A Problème d’algèbre linéaire Partie I On considère les matrices carrées A =    1 1 −1 2 0 −1 −1 1 1    B =    4 0 −3 3 1 −3 0 0 1   . 1. Les matrices A et B sont-elles diagonalisables dans R ? 2. Calculer A2. 3. Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = PDP −1. 4. Retrouver sans calcul que B est diagonalisable dans R. Partie II On se place dans l’espace euclidien orienté R3 muni de la base orthonormée directe canonique B = (⃗ e1,⃗ e2,⃗ e3). Pour un endomorphisme f de R3, on note f 2 = f ◦f. 1. On note f la rotation autour de l’axe dirigé par ⃗ e3 et d’angle π 2. (a) Décrire l’endomorphisme f 2. (b) Écrire la matrice C de f dans la base B. (c) Les matrices C et C2 sont-elles diagonalisables dans R ? dans C ? 2. Soit ⃗ w′ = (1, 1, −4). On note g la rotation autour de l’axe dirigé par ⃗ w′ et d’angle π 2 . (a) Déterminer un vecteur unitaire ⃗ w colinéaire à ⃗ w′ puis deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v tels que B′ = (⃗ u,⃗ v, ⃗ w) forme une base orthonormée directe. (b) Écrire la matrice de g dans la base B′ puis dans la base B. On note MB cette dernière matrice. (c) Les matrices MB et M2 B sont-elles diagonalisables dans R ? Partie III On considère maintenant un espace vectoriel E sur R de dimension finie. Pour un endomorphisme f de E, f 2 désigne toujours f ◦f. La notation IdE désigne l’endomorphisme identité de E. 1. Soit f, g deux endomorphismes de E tels que f ◦g = 0. Montrer que Im(g) ⊂ker(f). 2. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme diagonalisable de E. On désigne par λ1, . . . , λp, avec p ∈N∗, ses valeurs propres. 1 (a) Montrer que, pour tous α, β ∈R, (f −αIdE) ◦(f −βIdE) = (f −βIdE) ◦(f −αIdE). (b) Montrer que, pour tout vecteur propre v de f, on a (f −λ1IdE) ◦· · · ◦(f −λpIdE)(v) = 0. (c) Soit x ∈E un vecteur quelconque. En décomposant x dans une base bien choisie, montrer que (f −λ1IdE) ◦· · · ◦(f −λpIdE)(x) = 0. 3. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme de E tel que (f −αIdE) ◦(f −βIdE) = 0 (⋆) pour des réels α et β distincts. (a) Déterminer deux réels a et b tels que a(f −αIdE) + b(f −βIdE) = IdE. (b) En déduire que E = Im(f −αIdE) + Im(f −βIdE). (c) Déduire de (⋆) que Im(f −βIdE) ⊂ker(f −αIdE) et que Im(f −αIdE) ⊂ker(f −βIdE). (d) Montrer que E = ker(f −αIdE) + ker(f −βIdE). (e) Montrer que E = ker(f −αIdE) ⊕ker(f −βIdE). (f) En déduire que f est diagonalisable. 4. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme de E tel que f 2 est diagonalisable et a toutes ses valeurs propres strictement positives. On note λ1, . . . , λp ces valeurs propres. (a) Pour 1 ≤k ≤p, on note Fk le sous-espace propre de f 2 associé à la valeur propre λk. Montrer que, pour tout k ∈{1, . . ., p}, Fk est stable par f. (b) Pour 1 ≤k ≤p, on note fk la restriction de f à Fk et on pose µk = √λk. Montrer que (fk + µkIdFk) ◦(fk −µkIdFk) = 0. (c) En déduire que fk est diagonalisable. (d) Pour 1 ≤k ≤p, on note F + k = ker(fk + µkIdFk) et F − k = ker(fk −µkIdFk). Montrer que E = F + 1 ⊕F − 1 ⊕· · · ⊕F + p ⊕F − p . En déduire que f est diagonalisable. Exercice de probabilités Soient n et N deux entiers naturels non nuls. On lance successivement n boules au hasard dans N cases numérotées de 1 à N. On suppose que les différents lancers sont indépendants et que la probabilité pour qu’une boule tombe dans une case donnée est 1 N . Une case peut contenir plusieurs boules. On note Tn le nombre de cases non vides à l’issue des n lancers. 1. Déterminer (en fonction de n et N) les valeurs prises par la variable Tn (on distinguera 2 cas : n ≤N et n > N). 2. Donner la loi de T1, de T2. Calculer leurs espérances. 3. On se fixe maintenant n ≥2. Calculer P(Tn = 1), P(Tn = 2), P(Tn = n). 2 4. À l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que, pour tout entier k ≥1, P(Tn+1 = k) = k N P(Tn = k) + N −k + 1 N P(Tn = k −1). (⋆⋆) 5. On note Gn la série génératrice de la variable Tn. (a) Rappeler la définition de Gn. Montrer qu’ici, la fonction Gn est définie sur tout R. (b) Rappeler le lien entre Gn et E[Tn]. (c) En utilisant l’équation (⋆⋆), montrer que, pour tout x ∈R, Gn+1(x) = 1 N (x −x2)G′ n(x) + xGn(x). (d) En déduire que E[Tn+1] =  1 −1 N  E[Tn] + 1 puis que E[Tn] = N  1 −  1 −1 N n . 6. Pour 1 ≤i ≤n, on note Xi le numéro de la case dans laquelle la iième boule tombe. Pour 1 ≤k ≤N, on note Yk le nombre de boules que contient la case numéro k, et Zk la variable valant 0 si la boîte k est vide, et 1 si la boîte k contient au moins une boule. (a) Exprimer Yk en fonction des variables (Xi)1≤i≤n. (b) En déduire la loi de Yk, puis celle de Zk. (c) Les variables aléatoires (Zk)1≤k≤N sont-elles mutuellement indépendantes ? (d) Exprimer Tn en fonction des variables aléatoires (Zk)1≤k≤N et retrouver ainsi l’expression de E[Tn]. 3 uploads/s3/ banque-pt-2018-epreuve-a-partie-i.pdf

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Administrationmontrer −αide) déduire endomorphisme −βide)
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