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Calcul mathématique avec SAGE Calcul mathématique avec Sage Alexandre Casamayou

Calcul mathématique avec SAGE Calcul mathématique avec Sage Alexandre Casamayou Nathann Cohen Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas M. Thiéry Paul Zimmermann C Cette œuvre est mise à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité – Partage dans les mêmes conditions 3.0 France (cc by-sa 3.0 fr). Extrait de http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/deed.fr : Ceci est le résumé explicatif “lisible par les humains” du Code Juridique (la version intégrale de la licence). Vous êtes libre de : – partager — reproduire, distribuer et communiquer l’œuvre – remixer — adapter l’œuvre – d’utiliser cette œuvre à des ﬁns commerciales Selon les conditions suivantes : b Attribution — Vous devez attribuer l’œuvre de la manière indiquée par l’auteur de l’œuvre ou le titulaire des droits (mais pas d’une manière qui suggérerait qu’ils vous approuvent, vous ou votre utilisation de l’œuvre). a Partage dans les Mêmes Conditions — Si vous modiﬁez, transformez ou adaptez cette œuvre, vous n’avez le droit de distribuer votre création que sous une licence identique ou similaire à celle-ci. comprenant bien que : – Renonciation — N’importe laquelle des conditions ci-dessus peut être levée si vous avez l’autorisation du titulaire de droits. – Domaine Public — Là où l’œuvre ou un quelconque de ses éléments est dans le domaine public selon le droit applicable, ce statut n’est en aucune façon aﬀecté par la licence. – Autres droits — Les droits suivants ne sont en aucune manière aﬀectés par la licence : – Vos prérogatives issues des exceptions et limitations aux droits exclusifs ou fair use ; – Les droits moraux de l’auteur ; – Droits qu’autrui peut avoir soit sur l’œuvre elle-même soit sur la façon dont elle est utilisée, comme le droit à l’image ou les droits à la vie privée. – Remarque — A chaque réutilisation ou distribution de cette œuvre, vous devez faire apparaître clairement au public la licence selon laquelle elle est mise à disposition. La meilleure manière de l’indiquer est un lien vers cette page web. Des parties de cet ouvrage sont inspirées de l’ouvrage Calcul formel : mode d’emploi. Exemples en Maple de Philippe Dumas, Claude Gomez, Bruno Salvy et Paul Zimmermann [DGSZ95], diﬀusé sous la même licence, notamment les sections 2.1.5, 2.3.5 et 5.3. Une partie des exemples Sage du chapitre 15 sont tirés du tutoriel des logiciels MuPAD-Combinat [HT04] et Sage-combinat. Le dénombrement des arbres binaires complets de §15.1.2 est en partie inspiré d’un sujet de TP de Florent Hivert. L’exercice 9 sur le problème de Gauss est tiré d’un problème de François Pantigny et l’exercice 17 sur l’eﬀet Magnus est extrait d’un TD de Jean-Guy Stoliaroﬀ. Les graphiques de la ﬁgure 4.9 et leur interprétation reproduisent une partie du paragraphe III.4 du « Que sais-je ? » Les nombres premiers de Gérald Tenenbaum et Michel Mendès France [TMF00]. Préface Ce livre est destiné à tous ceux qui désirent utiliser eﬃcacement un système de calcul mathématique, en particulier le logiciel Sage. Ces systèmes oﬀrent une multitude de fonctionnalités, et trouver comment résoudre un problème donné n’est pas toujours facile. Un manuel de référence fournit une description analytique et en détail de chaque fonction du système ; encore faut-il savoir le nom de la fonction que l’on cherche ! Le point de vue adopté ici est complémentaire, en donnant une vision globale et synthétique, avec un accent sur les mathématiques sous-jacentes, les classes de problèmes que l’on sait résoudre et les algorithmes correspondants. La première partie, plus spéciﬁque au logiciel Sage, constitue une prise en main du système. Cette partie se veut accessible à tous les étudiants scientiﬁques (BTS, IUT, classes préparatoires, licence), et dans une certaine mesure aux élèves des lycées. Les autres parties s’adressent à des étudiants au niveau agrégation. Contrairement à un manuel de référence, les concepts mathématiques sont claire- ment énoncés avant d’illustrer leur mise en œuvre avec Sage. Ce livre est donc aussi un livre sur les mathématiques. Pour illustrer cet ouvrage, le choix s’est porté naturellement vers Sage, car c’est un logiciel libre, que tout un chacun peut utiliser, modiﬁer et redistribuer à loisir. Ainsi l’élève qui a appris Sage au lycée pourra l’utiliser quelle que soit sa voie professionnelle : en licence, master, doctorat, en école d’ingénieur, en entreprise, etc. Sage est un logiciel encore jeune par rapport aux logiciels concurrents, et malgré ses capacités déjà étendues, il comporte encore de nombreux bogues. Mais par sa communauté très active de développeurs, Sage évolue très vite. Chaque utilisateur de Sage peut rapporter un bogue — et éventuellement sa solution — sur trac.sagemath.org ou via la liste sage-support. Pour rédiger ce livre, nous avons utilisé la version 5.9 de Sage. Néanmoins, les exemples doivent fonctionner avec toute version ultérieure. Par contre, certaines aﬃrmations pourraient ne plus être vériﬁées, comme par exemple le fait que Sage utilise Maxima pour évaluer des intégrales numériques. Quand j’ai proposé en décembre 2009 à Alexandre Casamayou, Guillaume Connan, Thierry Dumont, Laurent Fousse, François Maltey, Matthias Meulien, Marc Mezzarobba, Clément Pernet et Nicolas Thiéry d’écrire un livre sur Sage, tous ont répondu présent, malgré une charge de travail déjà importante, comme Nathann Cohen qui nous a rejoint dans cette aventure. Je tiens à les remercier, no- tamment pour le respect du planning serré que j’avais ﬁxé, et plus particulièrement iv Nathann Cohen, Marc Mezzarobba et Nicolas Thiéry pour leur investissement décisif dans la dernière ligne droite. Tous les auteurs remercient les personnes suivantes qui ont relu des versions préliminaires de ce livre : Gaëtan Bisson, Françoise Jung, Hugh Thomas, Anne Vaugon, Sébastien Desreux, Pierrick Gaudry, Maxime Huet, Jean Thiéry, Muriel Shan Sei Fan, Timothy Walsh, Daniel Duparc, Kévin Rowanet et Kamel Naroun (une mention spéciale à tous les deux qui ont relevé des coquilles qui avaient résisté à 17 relectures) ; ainsi qu’Emmanuel Thomé pour son aide précieuse lors de la réalisation de ce livre, Sylvain Chevillard, Gaëtan Bisson et Jérémie Detrey pour leurs conseils typographiques avisés et les erreurs qu’ils ont relevées. Le dessin de la couverture a été réalisé par Corinne Thiéry, sur une idée originale d’Albane Saintenoy. En rédigeant ce livre, nous avons beaucoup appris sur Sage, nous avons bien sûr rencontré quelques bogues, dont certains sont déjà corrigés. Nous espérons que ce livre sera utile à d’autres, lycéens, étudiants, professeurs, ingénieurs, cher- cheurs ou amateurs ! Cet ouvrage comportant certainement encore de nombreuses imperfections, nous attendons en retour du lecteur qu’il nous fasse part de toute erreur, critique ou suggestion pour une version ultérieure ; merci d’utiliser pour cela la page sagebook.gforge.inria.fr. Nancy, France Mai 2013 Paul Zimmermann Table des matières I Prise en main de Sage 1 1 Premiers pas 3 1.1 Le logiciel Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Un outil pour les mathématiques . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Accès à Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Ressources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Sage comme calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Premiers calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Fonctions élémentaires et constantes usuelles . . . . . . . . 11 1.2.3 Aide en ligne et complétion automatique . . . . . . . . . 13 1.2.4 Variables Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Variables symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.6 Premiers graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Analyse et algèbre 17 2.1 Expressions symboliques et simpliﬁcation . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Expressions symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Transformation d’expressions . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Fonctions mathématiques usuelles . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4 Hypothèses sur une variable symbolique . . . . . . . . . . 22 2.1.5 Quelques dangers . . . . . . . . . . uploads/s3/ calcul-mathematique-avec-sage.pdf