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NOM : ..... Prénom : ..... Classe : .... DEVOIR SURVEILLE N ˚ 2 Le 14/11/2009 M

NOM : ..... Prénom : ..... Classe : .... DEVOIR SURVEILLE N ˚ 2 Le 14/11/2009 MATHEMATIQUES Série S Enseignement obligatoire Durée de l’épreuve : 3 heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire ﬁgurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le sujet est à rendre avec la copie. Exercice 1 (6,5 points) Soit la suite (un) déﬁnie par : u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = 2un 2 + 3un -Partie A : Etude graphique et conjectures- Soit f la fonction déﬁnie sur [0 ; +∞[ associée à la suite (un). On donne ci-dessous sa courbe représentative Cf. 1. Donner l’expression de f(x) en fonction de x. 2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur [0 ; +∞[. 3. En utilisant le graphique ci-dessous, placer les points A0, A1, A2 et A3 d’ordonnée nulle et d’abscisses res- pectives u0, u1, u2 et u3, puis donner une valeur approchée de chacun de ces termes. 4. Que suggère le graphique concernant le sens de variation de (un) et sa convergence ? 1 y = x 0, 1 0, 5 Cf x y O -Partie B : Démonstrations des conjectures- 1. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout n ∈N, un > 0. 2. a. Calculer u1, u2 et u3. b. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justiﬁer. 3. Déterminer le sens de variation de la suite (un). 4. On pose pour tout entier n, vn = 1 + 2 un . a. Calculer v0, v1 et v2. Quelle semble être la nature de la suite ? b. Démontrer cette conjecture. 5. Exprimer vn en fonction de n. En déduire l’expression de un en fonction de n. 6. Déterminer lim n→+∞un. Exercice 2 (7 points) - Partie A : Restitution organisée de connaissances - Prérequis : Soit z = x + iy un nombre complexe. • Le module d’un nombre complexe est donné par : |z| = p x2 + y2. • Le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués. 1. Montrer que |z|2 = zz où z est le conjugué de z. 2. Montrer que pour tous nombres complexes z1 et z2, |z1 × z2| = |z1| × |z2|. (On pouura utiliser le résultat précédent.) - Partie B - Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct. Soit M et M’ deux points d’aﬃxes respectives z = x+iy et z′ = x′ + iy′. On pose ϕ(z, z′) = z z′ + z z′ 1. a. Montrer que ϕ(1 + 2i, −2 + i) = 0. b. Calculer ϕ(i, 1 + i) sous forme algébrique. 2. a. Exprimer ϕ(z, z′) sous forme algébrique en fonction de x, x′, y et y′. b. En déduire que pour tout couple (z, z′), le nombre ϕ(z, z′) est réel. 3. a. Exprimer ϕ(z, z) en fonction de |z|. b. En déduire l’ensemble (E) des points M d’aﬃxe z tel que ϕ(z, z) = 2. 4. Calculer ϕ(z, i). En déduire l’ensemble (F) des points M d’aﬃxe z tels que ϕ(z, i) = 2. 5. Montrer que l’ensemble (G) des points M d’aﬃxe z tels que ϕ(z, z) = 0 est la réunion de deux droites dont on donnera les équations. Exercice 3 (5 points) 1. f est la fonction déﬁnie sur C par f(z) = z3 −2( √ 3 + i)z2 + 4(1 + i √ 3)z −8i a. Vériﬁer que pour tout z complexe : f(z) = (z −2i)(z2 −2 √ 3 z + 4) b. Résoudre dans C l’équation f(z) = 0. 2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O ; ⃗ u , ⃗ v ) d’unité 2 cm. On considère les points M1, M2 et M3 dont les aﬃxes sont respectivement : z1 = √ 3 −i, z2 = √ 3 + i et z3 = 2i. a. Montrer que M1, M2 et M3 sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. b. Construire les points M1, M2 et M3 dans le repère (O ; ⃗ u , ⃗ v ) en utilisant le résultat précédent. On laissera les traces graphiques nécessaires à cette construction. 3. Calculer les aﬃxes des vecteurs − − − → OM3 et − − − − → M1M2. 4. Déduire des questions 2.a et 3. la nature du quadrilatère OM1M2M3. Exercice 4 (1,5 points) Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit la fonction f déﬁnie sur R∗par : f (x) = 4 x On note H sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit A le point d’abscisse 1 de cette courbe. Soit m ∈R et dm la droite passant par A et de coeﬃcient directeur m. Discuter, selon les valeurs du réel m, le nombre de points d’intersection de H et dm. uploads/s3/ ts-ds2-2009-2010.pdf