1 T TA AU UX X I IN NS ST TA AN NT TA AN NÉ É D DE E M MO OR RT TA AL LI IT TÉ

1 T TA AU UX X I IN NS ST TA AN NT TA AN NÉ É D DE E M MO OR RT TA AL LI IT TÉ É Objectif : définir le taux de mortalité instantané, noté . Soit un assuré pris en observation à l’âge  et supposé vivant à la date  (donc à l’âge  + ), on cherche la probabilité qu’il décède dans l’intervalle de temps ;  + ∆ . Le nombre cherché est : ℙ  <  <  + ∆/  >  = ℙ  <  <  + ∆ ℙ  >  = |∆  Or : |∆ = ℙ  <  <  + ∆ = ℙ  >  −ℙ  >  + ∆ =  − ∆ Lorsque ∆ →0, cette expression tend vers 0. Mais si on suppose la fonction  dérivable par rapport à , alors, pour ∆ infiniment petit :  =  − ∆  −  + ∆ = −1 ∆  − ∆ ⟺  − ∆ = −  × ∆ ⟺ |∆ = −  × ∆ Donc : |∆  == −   × ∆ Comme :  = !"# ! , Alors :  = !"# % ! Et : |∆  = −& & ∆ ⟺ 1 ∆ |∆  = −& & ⟺ 1 ∆ ℙ  <  <  + ∆/  >  = −& & La limite de l’expression ' ∆ ℙ  <  <  + ∆/  >  lorsque ∆ →0 est égale à − !"# % !"#. C’est une fonction ( de l’âge atteint  +  qu’on appelle le taux instantané de mortalité à l’âge  + . Donc pour un âge ) :  = * * = −+ + ,*- *. Si on connaît la fonction (/, on aura, par intégration entre  et  +  : 2 ln & −ln & = _ 3 (/ 4)   Soit : ln   = _ 3 (/ 4)   D’où :  = 5_ 6 78 9/ !"# ! E ES SP PÉ ÉR RA AN NC CE E D DE E V VI IE E À À L L’ ’Â ÂG GE E : : L’espérance de vie à l’âge  est l’espérance mathématique de la durée de vie . Pour rappel :  = ℙ  ≤. On note : 5< = 3  |9 => ? Comme : |9 = −  × 4 = − !"# % ! 4 5< = 1 & 3  . & . 4 => ? On observe que : 4 . & = 4. & + . 4& 4 = 4. & + . & . 4 = 4. & + . &  Donc : 5< = 1 & 3 4 . & −4. &  = => ? 1 & 3 4 . & => ? + 1 & 3 & => ? . 4 5< = 1 & A. & ? => + 3 & => ? . 4B Comme &= = 0, 5< = 1 & 3 & => ? . 4 = 1 & 3 &/ =  . 4) En approchant l’intégrale par la méthode des trapèzes : C< : = *:D + *:E + ⋯+ *G>D *: + D E uploads/s3/ taux-instantane-de-mortalite.pdf

Tags
Administration|∆ l’âge & ∆ fonction
Documents similaires
  • 24
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager