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ANALYSE COMPLEXE SMA 6, 2014-2015 A. Lesfari Département de Mathématiques Facul

ANALYSE COMPLEXE SMA 6, 2014-2015 A. Lesfari Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Chouaïb Doukkali B.P. 20, El-Jadida, Maroc. E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr Site Web : http://lesfari.com Le programme porte sur les notions suivantes : fonctions holo- morphes, équation de Cauchy-Riemann, fonctions holomorphes élé- mentaires, théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, équi- valence entre holomorphie et analyticité, zéros de fonctions holo- morphes, espace des fonctions holomorphes, théorème d'inversion locale, théorème de l'application ouverte, principe du maximum, lemme de Schwarz, automorphismes, séries de Laurent, points singuliers, fonction méromorphes, théorème des résidus et application au calcul intégral, théorème de Rouché, fonctions harmoniques, égalité de la moyenne, noyau de Poisson. Si le temps le permet, d'autres notions complémentaires seront données. Table des matières 1 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 4 1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Fonctions diérentiables, fonctions holomorphes, équation de Cauchy-Riemann, intégration des fonctions holomorphes . . . . 8 1.3 Théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, théorème de Moréra, équivalence entre holomorphie et analyticité . . . . . . 12 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Propriétés des fonctions holomorphes et harmoniques 22 2.1 Inégalités de Cauchy, théorèmes de Liouville et de d'Alembert . 22 2.2 Principe du prolongement analytique et principe des zéros isolés 23 2.3 Propriété de la moyenne, principe du maximum, lemme de Schwarz 24 2.4 Fonctions harmoniques, formule et noyau de Poisson, problème de Dirichlet pour le disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Théorème d'inversion locale, transformations conformes, appli- cations géométriques, théorème de l'application ouverte, auto- morphismes Aut(C), Aut (P1 (C)), Aut(D(0, 1)), Aut(H) . . . . 26 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Fonctions méromorphes 37 3.1 Séries de Laurent, points singuliers, théorème de Casorati-Weierstrass, théorèmes de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Fonctions méromorphes, théorème des résidus . . . . . . . . . . 40 3.3 Nombre de pôles et zéros d'une fonction méromorphe, principe de l'argument, théorème de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales et la somme de certaines séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Suites et produits in nis(compléments) 57 4.1 Suites de fonctions holomorphes, séries de fonctions holomorphes, théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2 A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 3 4.2 Espace des fonctions holomorphes, théorème de Montel et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Séries de fonctions méromorphes, théorème de Mittag-Le er . . 61 4.4 Produits in nis de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 Fonctions dé nies par une intégrale, fonctions gamma et bêta d'Euler, transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Chapitre 1 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 1.1 Préliminaires Soient Ωun ouvert de C ≃R2 et f : Ω− →C, z 7− →f (z) = w, une fonction complexe d'une variable complexe z = x + iy, (x, y ∈R). Dé nition 1 On dit que la fonction f est uniforme si à chaque valeur de z ne correspond qu'une seule valeur de w. Sinon, elle est dite multiforme. Exemples de fonctions uniformes : a) La fonction linéaire : w = az + b, (a, b ∈C). b) La fonction exponentielle : w = ez. Par dé nition, on a ez = ex (cos y + i sin y) . Lorsque z est réel c'est-à-dire z = x, nous retrouvons la fonction exponentielle ez = ex. La fonction ez est périodique, de période 2πi. En outre, on a ez1ez2 = ez1+z2. En écrivant z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ, où r = |z| et θ = arg z, on obtient la formule de Moivre zn = rneinθ, 4 A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 5 et les formules d'Euler cos y = eiy + e−iy 2 , sin y = eiy −e−iy 2i . c) Les fonctions circulaires. Par extension des dé nitions dans le cas réel, on pose cos z = eiz + e−iz 2 , sin z = eiz −e−iz 2i , et de là tan z = sin z cos z, cot z = cos z sin z . Les relations entre les fonctions trigonométriques réelles s'étendent au cas com- plexe. Les fonctions cos z et sin z sont périodiques, de période 2π. Elles ont les mêmes zéros que les fonctions réelles correspondantes. Signalons que les fonc- tions cos z et sin z ne sont pas bornées. d) Les fonctions hyperboliques. Nous les dé nirons par extension du cas réel, en posant cosh z = ez + e−z 2 , sinh z = ez −e−z 2 , et de là tanh z = sinh z cosh z, coth z = cosh z sinh z . Les fonctions cosh z et sinh z sont périodiques, de période 2πi et sont, respec- tivement, paires et impaires. Les relations entre les fonctions hyperboliques réelles s'étendent au cas complexe. Remarque 2 On peut dé nir les fonctions ez, cos z, sin z, cosh z, sinh z, par leurs développements en série entière qui convergent dans tout le plan com- plexe : ez = 1 + z + z2 2! + z3 3! + · · · cos z = 1 −z2 2! + z4 4! −· · · sin z = z −z3 3! + z5 5! −· · · cosh z = 1 + z2 2! + z4 4! + · · · sinh z = z + z3 3! + z5 5! + · · · A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 6 Exemples de "fonctions" multiformes : a) La fonction racine carrée : w = √z. Considérons f : C − →C, z 7− →w : w2 = z. Il est clair que f n'est pas une fonction : à chaque valeur de z ̸= 0, correspond deux valeurs de w. Lorsque l'on tourne autour du point z = 0, par exemple le long d'un cercle centré en 0, alors w change de signe. En eet, soit z = reiθ, w = √rei θ 2, où r = |z| et θ = arg z. On veut tourner autour de z = 0, donc r sera petit et θ variera entre 0 et 2π. Si θ = 0, alors w = √re0 = √r. Si θ = 2π, alors w = √reπi = −√r. On peut utiliser le fait que l'argument θ d'un nombre complexe z est dé ni à 2kπ près. On pose θ = θ0 + 2kπ et dès lors la fonction w = √z prend deux valeurs distinctes w1 et w2 pour chaque valeur de z ̸= 0 : w1 = √rei θ0 2 , w2 = √rei( θ0 2 +π) = −w1. On dit que la fonction w = √z a deux branches ou déterminations. Donc si z décrit un cercle entourant 0, la fonction √z est multiforme et passe de manière continue d'une branche à l'autre ; de w = √r à w = −√r. Si on refait de nouveau un tour complet c'est-à-dire de θ = 2π à θ = 4π, alors on obtient √r c'est-à-dire la valeur de départ. On dit que le point z = 0 est un point de branchement ou de rami cation de la fonction w = √z. A distance nie, le point z = 0 est le seul point de branchement de √z, car la considération uploads/s3/ sma-cours.pdf