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1 MA201 La m´ ethode des ´ el´ ements ﬁnis. Contrˆ ole continu du 13 novembre 2

1 MA201 La m´ ethode des ´ el´ ements ﬁnis. Contrˆ ole continu du 13 novembre 2009. Dur´ ee : 3 heures. Documents autoris´ es : polycopi´ e MA201 (partie 1 et partie 2), ´ enonc´ es/corrig´ es TD MA201, ´ enonc´ es TP MA201. Toute r´ eponse doit ˆ etre justiﬁ´ ee. Probl` eme : Autour de la diﬀusion Les deux parties de ce probl` eme sont totalement ind´ ependantes et peuvent donc ˆ etre trait´ ees s´ epar´ ement. Partie 1 Diﬀusion neutronique Certains mod` eles neutroniques1 conduisent ` a consid´ erer le probl` eme suivant : trouver u ∈L2(Ω) d´ eﬁnie sur Ωtelle que          Z Ω |∇u|2 dΩ< ∞, −div(D∇u) = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω. (1) Ci-dessus, le domaine de calcul Ωest un ouvert born´ e connexe de R2, de fronti` ere ∂Ωsuﬃsamment r´ eguli` ere, D ∈L∞(Ω) est un coeﬃcient de diﬀusion (pouvant d´ ependre de la position) caract´ erisant les mat´ eriaux pr´ esents dans le cœur du r´ eacteur, et f ∈L2(Ω) est la donn´ ee. 1. Obtention de la formulation variationnelle : (a) Dans quel espace faut-il poser la formulation variationnelle associ´ ee ` a (1) ? (b) ´ Ecrire la formulation variationnelle associ´ ee ` a (1) : on la notera (FV1) dans la suite. (c) V´ eriﬁer que la solution de (FV1) est ´ egalement solution de (1). 2. On se place maintenant dans le cas de la ﬁgure 1 (qui est cens´ ee repr´ esenter une g´ eom´ etrie tr` es simpliﬁ´ ee de cœur de r´ eacteur nucl´ eaire). Le coeﬃcient de diﬀusion D est d´ eﬁni par : D = D1 dans Ω1, D = D2 dans Ω2, avec D1 et D2 deux constantes strictement positives. (a) Montrer que (FV1) est bien pos´ ee. (b) Quelle est la condition v´ eriﬁ´ ee par la solution sur l’interface Σ = ∂Ω1 ∩∂Ω2 ? 1La neutronique est l’´ etude du d´ eplacement des neutrons et de leurs interactions avec la mati` ere ` a l’int´ erieur d’un cœur de r´ eacteur nucl´ eaire. 2 3. On suppose maintenant que la donn´ ee f est sym´ etrique par rapport aux axes Ox et Oy. (a) Soit u la solution du probl` eme. On d´ eﬁnit usym comme : pour presque tout (x, y) ∈Ω, usym(x, y) = u(−x, y). En consid´ erant les sym´ etries de la g´ eom´ etrie de la ﬁgure 1, montrer que usym est aussi solution de (1). En d´ eduire que u est sym´ etrique par rapport ` a l’axe (Oy). (b) On d´ eﬁnit Ωxy = Ω∩R2 +. Quel est le probl` eme direct (2) v´ eriﬁ´ e par u = u|Ωxy ? On admet que la formulation variationnelle associ´ ee ` a ce nouveau probl` eme est : Trouver u ∈V telle que Z Ωxy D∇u · ∇v dΩ= Z Ωxy f v dΩ, ∀v ∈V. (FV2) Dans quel espace V est pos´ ee (FV2) ? (c) Quel int´ erˆ et les questions 3(a) et 3(b) peuvent-elle avoir en pratique ? 4. (a) Proposer une discr´ etisation de (FV2), bas´ ee sur l’´ el´ ement ﬁni de Lagrange Q1 structur´ e, c’est-` a-dire avec un maillage constitu´ e de carr´ es. (b) Comment construire le syst` eme lin´ eaire ´ equivalent ` a la formulation variationnelle discr` ete ? Pour la matrice, on s’arrˆ etera ` a l’expression de ses coeﬃcients, sans calculer explicitement leur valeur. (c) Rappeler les propri´ et´ es principales de la matrice de ce syst` eme lin´ eaire. En particulier, combien y a-t-il au plus d’´ el´ ements non-nuls par ligne ? (d) Quelle vitesse de convergence peut-on esp´ erer obtenir ? Partie 2 Convection-diﬀusion Soit Ωun domaine r´ egulier born´ e de R3 de fronti` ere ∂Ωsuﬃsamment r´ eguli` ere, v ∈(L∞(Ω))3 un champ de vecteurs de convection, et f ∈L2(Ω). On recherche ϕ ∈L2(Ω) telle que          Z Ω |∇ϕ|2 dΩ< ∞, −∆ϕ + ∇ϕ · v = f dans Ω, ϕ = 0 sur ∂Ω. (3) NB. Si ∇ϕ ∈(L2(Ω))3 et v ∈(L∞(Ω))3, alors ∇ϕ·v ∈L2(Ω) et ||∇ϕ·v||L2(Ω) ≤||v||(L∞(Ω))3||∇ϕ||(L2(Ω))3. 1. Montrer que la formulation variationnelle associ´ ee ` a (3) est : Trouver ϕ ∈H1 0(Ω) telle que Z Ω ∇ϕ · ∇ψ dΩ+ Z Ω ∇ϕ · v ψ dΩ= Z Ω f ψ dΩ, ∀ψ ∈H1 0(Ω). (FV3) 3 Σ ∂Ω y x Ω2 O (−5, −5) (−3, −3) (5, 5) (3, 3) Ω1 Figure 1: g´ eom´ etrie (tr` es) simpliﬁ´ ee d’un cœur de r´ eacteur. 2. V´ eriﬁer les hypoth` eses du th´ eor` eme de Lax-Milgram pour (FV3). Parmi ces hypoth` eses, quelle est celle qui pose probl` eme ? 3. ´ Etablir l’existence et l’unicit´ e d’une solution de (FV3) sous la condition ||v||(L∞(Ω))3 < s 1 Cp , o` u Cp d´ esigne la constante de Poincar´ e. Exercice : Formules de quadrature et estimations d’erreur Soit ` a r´ esoudre le probl` eme variationnel abstrait Trouver u ∈V telle que a(u, v) = ℓ(v), ∀v ∈V, avec V un espace de Hilbert, a(·, ·) bilin´ eaire, continue et coercive sur V , ℓ(·) lin´ eaire et continue sur V . On d´ eﬁnit (Vh)h une suite de sous-espaces vectoriels de V , de dimension ﬁnie, et on r´ esout les probl` emes approch´ es Trouver uh ∈Vh telle que a(uh, vh) = ℓ(vh), ∀vh ∈Vh. Pour acc´ el´ erer la construction de ces probl` emes, on choisit d’utiliser des formules de quadrature pour ´ evaluer le second membre et/ou le premier membre. On doit alors modiﬁer l’estimation d’erreur “classique” du lemme de C´ ea. 4 1. Supposons que l’on remplace ℓ(vh) par ˜ ℓ(vh), les (˜ ℓh)h ´ etant continues sur Vh. On r´ esout alors Trouver u′ h ∈Vh telle que a(u′ h, vh) = ˜ ℓh(vh), ∀vh ∈Vh. Montrer qu’il existe C′ > 0 telle que, pour tout h : ∥u −u′ h∥V ≤C′ ( inf vh∈Vh ∥u −vh∥V + sup wh∈Vh |ℓ(wh) −˜ ℓh(wh)| ∥wh∥V ) . Indication : choisir vh ∈Vh quelconque et majorer ∥u′ h −vh∥V ` a l’aide de la coercivit´ e de a(·, ·). 2. Supposons que l’on remplace le second membre comme ` a la question pr´ ec´ edente, et a(yh, vh) par ˜ ah(yh, vh) (pour yh, vh ∈Vh), les (˜ ah)h ´ etant continues et coercives sur Vh, avec une constante de coercivit´ e (strictement positive) ind´ ependante de h. On r´ esout cette fois Trouver u′′ h ∈Vh telle que ˜ ah(u′′ h, vh) = ˜ ℓh(vh), ∀vh ∈Vh. Montrer qu’il existe C′′ > 0 telle que, pour tout h : ∥u−u′′ h∥V ≤C′′ ( inf vh∈Vh ∥u −vh∥V + sup zh∈Vh |a(vh, zh) −˜ ah(vh, zh)| ∥zh∥V + sup wh∈Vh |ℓ(wh) −˜ ℓh(wh)| ∥wh∥V ) . Indication : choisir vh ∈Vh quelconque et majorer ∥u′′ h−vh∥V ` a l’aide de la coercivit´ e de ˜ ah(·, ·). 3. Commenter les deux estimations d’erreur pr´ ec´ edentes. 4. Proposer trois exemples, pour lesquels on doit utiliser respectivement : • l’estimation d’erreur “classique” fournie par le lemme de C´ ea ; • l’estimation d’erreur de la question 2 ; • l’estimation d’erreur de la question 3. uploads/s3/ ma201-examen-09-10.pdf