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R´ evisions pour les oraux ∗ Classe de MP, lyc´ ee C´ ezanne. 18 janvier 2014 L

R´ evisions pour les oraux ∗ Classe de MP, lyc´ ee C´ ezanne. 18 janvier 2014 Les corrig´ es ne ﬁgurent pas dans la version papier que je distribue en classe ; la version magn´ etique compl` ete de ce polycopi´ e est disponible sur les sites http://www.univenligne.fr http://www.mpcezanne.fr . Vous pouvez donc, si vous vous lancez dans d’autres exercices que ceux que nous traiterons en- semble, esp´ erer une correction. Comme toutes les r´ eponses ne sont pas encore r´ edig´ ees, je peux ` a la demande ajouter les corrig´ es dont vous auriez besoin. Table des mati` eres 1 Alg` ebre g´ en´ erale 5 1.1 R´ esum´ e de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Anneaux et corps, g´ en´ eralit´ es, notion d’id´ eal . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Compl´ ements d’arithm´ etique, les anneaux Z et K[X] . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 L’anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Indications ou corrig´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 D´ eterminants et syst` emes lin´ eaires 40 2.1 R´ esum´ e de cours sur la notion de d´ eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.1 Le groupe sym´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2 Formes n-lin´ eaires altern´ ees en dimension n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.3 Les classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.4 D´ eterminants et g´ eom´ etrie, espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Ce qu’il faut connaˆ ıtre et savoir faire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 ´ Enonc´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Indications ou corrig´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 R´ eduction et polynˆ omes d’endomorphismes 57 3.1 R´ esum´ e de cours : r´ eduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.1 Valeurs propres, sous espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.2 R´ eduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.3 Polynˆ omes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ∗Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom RevisionsMPOral2010.pdf 1 3.1.4 Stabilit´ e, lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.5 Diagonalisation des endomorphismes sym´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Ce qu’il faut connaˆ ıtre et savoir faire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 ´ Enonc´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Indications ou corrig´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Fonctions de la variable r´ eelle, suites num´ eriques 103 4.1 Ce qu’il faut connaˆ ıtre et savoir faire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2 ´ Enonc´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Indications ou corrig´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5 S´ eries num´ eriques 115 5.1 R´ esum´ e s´ eries num´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1.2 S´ eries ` a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.1.3 S´ eries et int´ egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1.4 Crit` ere de d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.1.5 Produit de Cauchy et exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.6 Conseils pour ´ etudier une s´ erie num´ erique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.1.7 A connaˆ ıtre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2 Ce qu’il faut connaˆ ıtre et savoir faire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3 ´ Enonc´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4 Indications ou corrig´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ orale-pour-les-concours-francais.pdf