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I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupe

I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes Chapitre 1 : Structures alg´ ebriques - Groupes L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Licence Math´ ematiques Universit´ e d’Avignon Ann´ ee 2018–2019 L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes On extrait des r` egles op´ eratoires valables ind´ ependamment des objets consid´ er´ es. Plusieurs buts comprendre les principes qui sous-tendent les calculs classiques ´ etendre ces principes ` a diﬀ´ erents types d’objets g´ en´ eraliser dans diverses directions (objets abstraits, op´ erateurs vari´ es). L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e I. Loi de composition 1. Loi de composition interne D´ eﬁnition : Loi de composition interne sur un ensemble Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de E × E sur E. On notera cette application E × E → E (x , y) 7→ x ∗y On parle alors de la loi ∗. On note souvent (E, ∗) pour d´ esigner un ensemble E muni d’une loi de composition ∗. Le symbole d´ esignant la loi peut ˆ etre not´ e ⊤, ♦, p ... L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e I. Loi de composition 1. Loi de composition interne D´ eﬁnition : Loi de composition interne sur un ensemble Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de E × E sur E. On notera cette application E × E → E (x , y) 7→ x ∗y On parle alors de la loi ∗. On note souvent (E, ∗) pour d´ esigner un ensemble E muni d’une loi de composition ∗. Le symbole d´ esignant la loi peut ˆ etre not´ e ⊤, ♦, p ... Exemples incontournables de lois : addition +, multiplication × dans N, Z, Q, R ou C composition ◦dans l’ensemble des permutations dans E L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e D´ eﬁnition Soit ∗une loi de composition sur un ensemble E. 1 Associativit´ e d’une loi de composition : On dit que la loi ∗est associative si, pour tous x, y, z de E, on a : (x ∗y) ∗z = x ∗(y ∗z). On ´ ecrit alors x ∗y ∗z. L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e D´ eﬁnition Soit ∗une loi de composition sur un ensemble E. 1 Associativit´ e d’une loi de composition : On dit que la loi ∗est associative si, pour tous x, y, z de E, on a : (x ∗y) ∗z = x ∗(y ∗z). On ´ ecrit alors x ∗y ∗z. 2 El´ ements qui commutent pour une loi : Soit x et y deux ´ el´ ements de E. On dit que x et y commutent (pour la loi ∗) si x ∗y = y ∗x. L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e D´ eﬁnition Soit ∗une loi de composition sur un ensemble E. 1 Associativit´ e d’une loi de composition : On dit que la loi ∗est associative si, pour tous x, y, z de E, on a : (x ∗y) ∗z = x ∗(y ∗z). On ´ ecrit alors x ∗y ∗z. 2 El´ ements qui commutent pour une loi : Soit x et y deux ´ el´ ements de E. On dit que x et y commutent (pour la loi ∗) si x ∗y = y ∗x. 3 Commutativit´ e d’une loi de composition : On dit que la loi ∗est commutative si, pour tous x et y de E, on a x ∗y = y ∗x. Avec l’associativit´ e et la commutativit´ e, on peut changer l’ordre des ´ el´ ements et les regrouper comme on veut, ce qui permet de simpliﬁer les calculs. L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e 2. Exemples de lois usuelles et notations usuelles Somme et produit sur les ensembles de nombres Les lois + et × usuelles sur N, Z, Q, R et C sont associatives et commutatives. L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e 2. Exemples de lois usuelles et notations usuelles Somme et produit sur les ensembles de nombres Les lois + et × usuelles sur N, Z, Q, R et C sont associatives et commutatives. La loi produit × est le plus souvent not´ ee xy plutˆ ot que x × y. L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e 2. Exemples de lois usuelles et notations usuelles Somme et produit sur les ensembles de nombres Les lois + et × usuelles sur N, Z, Q, R et C sont associatives et commutatives. La loi produit × est le plus souvent not´ ee xy plutˆ ot que x × y. La loi (x, y) 7→x −y sur Z, Q, R et C, n’est ni associative ni commutative. L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e 2. Exemples de lois usuelles et notations usuelles Somme et produit sur les ensembles de nombres Les lois + et × usuelles sur N, Z, Q, R et C sont associatives et commutatives. La loi produit × est le plus souvent not´ ee xy plutˆ ot que x × y. La loi (x, y) 7→x −y sur Z, Q, R et C, n’est ni associative ni commutative. La loi de composition des applications Soit E un ensemble et F(E) l’ensemble des applications de E dans E. On d´ eﬁnit la loi ◦(loi de composition) sur F(E) par (f, g) 7→f ◦g. Cette loi est associative, mais elle n’est pas commutative (sauf si E est r´ eduit ` a un singleton). L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e Les lois union et intersection sur les ensembles Soit E un ensemble et P(E) l’ensemble des parties de E. On d´ eﬁnit les lois union et intersection sur P(E) par (A, B) 7→A ∪B et (A, B) 7→A ∩B. Ces lois sont associatives et commutatives. L3-S5. Alg` ebre g´ en´ erale 1 Structures alg´ ebriques I. Lois de composition II. Groupes et sous-groupes III. Introduction aux groupes quotient IV. Morphisme de groupes 1. Loi de composition interne 2. Exemples de lois usuelles 3. El´ ement neutre et inversibilit´ e 4. Stabilit´ e 5. Distributivit´ e Les lois union et intersection sur les ensembles Soit E un ensemble et P(E) l’ensemble des parties de E. On d´ eﬁnit les lois union et intersection sur P(E) par (A, B) uploads/s3/ expose-algebres5-chap1.pdf