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Chapitre 1 theoremes de sylow v f

Théorèmes de Sylow L'Moufadal Ben Yakoub Université Abdelmalek Essa? di Département de Mathématiques Tétouan Maroc E-mail benyakoub hotmail com L Ben Yakoub Théorèmes de Sylow CGroupe opérant sur un ensemble En général Il n'y a pas de réciproque au théorème de Lagrange au sens que pour un diviseur m de G il n'existe pas forcément de sous-groupe d'ordre m dans G Par exemple le groupe alterné A d'ordre ne contient pas de sous-groupe d'ordre Le premier théorème de Sylow montre que c'est cependant le cas si m est puissance d'un C nombre premier Dé nition Soient G un groupe et E un ensemble non vide On dit que G opère à gauche sur E s'il existe une loi externe g x ? g x de C G ? E dans E véri ant e x x et g g x gg x pour tous g g ?? G et x ?? E On dit aussi que l'on a une action de G sur E ou que E est un G-ensemble L Ben Yakoub Théorèmes de Sylow CThéorème La donnée d'une action de G sur E équivaut à la donnée d'un morphisme de groupes de G dans le groupe symétrique S E Preuve Supposons donné ? g ? ?g un morphisme de groupes de G dans S E On C dé nit une loi externe G ? E ?? ? E en posant g x ?g x pour tous g ?? G et x ?? E En utilisant le fait que ?g ?g ?gg et ? C e idE on véri e sans C problème que les deux conditions d'une action sont véri ées C Réciproquement supposons que G opère sur E par g x ? g x Dé nissons pour tout g ?? G une application ?g E ?? ? E par ?g x g x pour tout x ?? E On a alors pour tout x ?? E et g h ?? G ?g ?h x g h x gh x ?gh x et ?e x e x x ce qui prouve que ?g ?h ?gh et ?e idE On en déduit pour h g ?? que ?g est bijective pour tout g ?? G et que l'application ? g ? ?g est un morphisme de G dans S E L Ben Yakoub Théorèmes de Sylow C C Dé nition et proposition Soit G un groupe opérant sur un ensemble non-vide E Pour tout x ?? E on appelle stabilisateur de x l'ensemble Gx g ?? G g x x C'est un sous-groupe de G qu' on note parfois StabG x orbite de x l'ensemble x g x g ?? G Les orbites des éléments de E forment une partition de E Preuve On a e x x donc e ?? Gx De plus quels que soient g h ?? Gx on calcule gh ?? x gh ?? h x gh ?? h x g x x D'o? C gh ?? ?? Gx Pour tout x y ?? E