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Devoir de maths 7C 11/02/2018 4 heures Proposé par l’association des amis de ma

Devoir de maths 7C 11/02/2018 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 1/2 جمعية أصدقاء الرياضيات ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES DEVOIR DE MATHS Niveau : 7C Durée :4h Proposé le 11 Février 2018 de 8h à 12h Exercice 1 : (3 points) On considère les équations dont les inconnues sont des entiers  E : 35u 96v 1   et    35 F : x 2 97  . 1° a) En appliquant le test de primalité vérifier que 97 est un nombre premier. b) Montrer que le couple   11;4 est solution de l’équation  E . 0.25 pt 0.25 pt c) Résoudre dans 2 l’équation  E . 0.5 pt 2° Soit x une solution de l’équation  F . a) Prouver que les nombres x et 97 sont premiers entre eux. 0.5 pt b) Montrer que   96 x 1 97  puis que   11 x 2 97  1 pt 3° Soit n un entier. Montrer que si   11 n 2 97  alors n est solution de  F . 0.25 pt 4° Montrer que les solutions de  F sont tous les entiers x 11 97k; k    0.25 pt Exercice 2 : (5 points) On définit la suite  n I par 1 2 0 0 I 1 t dt    et 1 n 2 n 0 I t 1 t dt    , pour tout * n . 1° On pose cosx 2 0 f(x) 1 t dt    , x  . a) Montrer que f est dérivable sur puis calculer  f x  . 1 pt b) Déterminer f(x)pour x 0, 2        puis en déduire la valeur de 0 I . c) Interpréter graphiquement l’intégrale 0 I et retrouver sa valeur. 0.25 pt 0.25 pt 2° a) Montrer que la suite  n I est décroissante et minorée. Que peut-on en déduire ? 0.5 pt b) Montrer que pour tout n ; n 1 0 I n 1   puis en déduire n n lim I  . 0.5 pt 3° a) Calculer 1 I . 0.5 pt b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que n  ; n 2 n n 1 I .I n 4     0.5 pt c) Montrer que n  ; n 1 n I n 1 1 n 4 I      puis calculer n 1 n n I lim I   0.5 pt 4° a) Montrer par récurrence que n  ;     n n 1 I I 2 n 1 n 2 n 3        . 0.25 pt b) Prouver que n n lim n n .I 2    0.25 pt 5° Montrer que     2n 2n 2 2n ! I 2 n! n 1 !     et en déduire l’ expression de 2n 1 I . 0.5 pt Devoir de maths 7C 11/02/2018 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 2/2 Exercice 3 : (6 points) Soit 2 iz 1 f(z) (z 1)    , pour tout  z 1   1° a) Montrer que l’équation f(z) z  admet une solution imaginaire pure 0 z 1 pt b) Résoudre dans l’équation f(z) z  , soit o 1 2 z ,z et z ses solutions avec o 2 1 Re(z ) 0 et Re(z ) Re(z )   . 1 pt 2° a) Montrer que 11 i 6 1 1 z e    et 7 i 6 2 1 z e    . 1 pt b) En déduire le module et un argument de chacun des complexes 1 2 z et z . 1 pt 3° Dans cette question on suppose que i z e   avec 0. a) Montrer que f(z) iz.f(z)  0.5 pt b) Déterminer  pour que f(z) soit un imaginaire pur. 0.5 pt c) Ecrire f(z) sous forme exponentielle. 0.5 pt 4° Déterminer ztel que z 1  et   1 Re f(z) 2  . 0.5 p Exercice 4 : (6 points) Soit f la fonction définie sur 0, 2        par 2sinx 2 f(x) 2 1 sinx 1 sinx      et sa courbe représentative dans un repère orthonormé   O;i, j . 1° Dresser le tableau de variation de f . 1.5 pt 2° a) Montrer que f admet une réciproque g. Déterminer g(0) et g(1) . 1 pt b) Soit h(x) f(x) x   . Montrer que   2 2 2 sinx h (x) (1 sinx)     . En déduire le signe de h (x)  puis le signe de h(x) 1 pt c) En déduire la position relative de par rapport à la droite  d’équation y x  . 0.25 pt d) Tracer, dans le repère précédent les courbes  et  de f et g. 0.5 pt e) Montrer que gest dérivable sur et que  1 g x (2 x) 1 x     . 0.75 pt 3° Soit   n u la suite définie par : 0 u 2  et n  ; n 1 n u g(u )  a) Montrer que n  ; n 0 u 2   . 0.25 pt b) Montrer que   n u est décroissante. En déduire qu’elle est convergente et préciser sa limite. 0.5 pt 4° Soit   n v la suite définie pour tout * n par n n n 2 1 v n g u g u n n                       . On admet que * n  il existe n n n 1 2 c u ,u n n          tel que n n n 1 v (2 c ) 1 c    Montrer que   n v est convergente et calculer sa limite. 0.25 pt Fin uploads/s3/ devoiramimath7c2-2018 1 .pdf