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1 INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE FELIX HOUPHOUET-BOIGNY DE YAMOUSSOUKRO Année

1 INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE FELIX HOUPHOUET-BOIGNY DE YAMOUSSOUKRO Année académique 2018-2019, COURS DE MECANIQUE GENERALE Le célèbre savant Galilée ou Galileo Galilei Dr Arnaud ZAGBAI TAPE Diplômé de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Docteur Ingénieur des Ponts et Chaussées arnaudzagbai@yahoo.fr Edition 2019 Cours destiné aux étudiants de 1ère année d’ingénieurs de l’INPHB et aux étudiants du niveau Licence des universités 2 Table des matières AVANT PROPOS ....................................................................................................................................... 8 Chapitre 1 : NOTIONS DE VECTEURS, TORSEURS .................................................................................. 10 I. DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS ............................................................................................. 10 I.1 Vecteurs libres .......................................................................................................................... 10 I.2 Vecteurs glissants ..................................................................................................................... 10 I.3 Vecteurs liés ............................................................................................................................. 11 II. DEFINITION D’UN GLISSEUR ..................................................................................................... 11 III. MOMENT D’UN GLISSEUR EN UN POINT ............................................................................. 12 III.1 Définition ................................................................................................................................ 12 III.2 Remarques .............................................................................................................................. 12 III.3 Théorème ............................................................................................................................... 12 III.4 Remarques .............................................................................................................................. 12 III.5 Coordonnées du moment d’un glisseur ................................................................................. 13 III.6 Changement de l’origine des moments ................................................................................. 13 III.7 Coordonnées d’un glisseur : Théorème ................................................................................. 14 IV. MOMENT D’UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE ........................................................... 16 IV.1 Définition ................................................................................................................................ 16 IV.3 Exercice d’application ............................................................................................................ 16 V. TORSEURS ................................................................................................................................. 17 V.1 Définition ................................................................................................................................. 17 V.2 Définitions concernant les torseurs ........................................................................................ 17 V. 3 Formule de changement de l’origine des moments .............................................................. 18 V.4 Condition nécessaire et suffisante de l’équivalence de deux torseurs .................................. 18 V.5 Coordonnées d’un torseur ...................................................................................................... 19 V.6 Invariant scalaire d’un torseur ................................................................................................ 19 V.7 Comoment de deux torseurs ................................................................................................... 20 V.8 Moment par rapport à un axe ................................................................................................. 21 V.9 Torseurs spéciaux .................................................................................................................... 21 V.10 Axe central d’un torseur: Répartition ................................................................................... 22 Chapitre 2 : CINEMATIQUE .................................................................................................................... 26 PEMIERE PARTIE : CINEMATIQUE CLASSIQUE ................................................................................. 26 I. DEFINITIONS- POSTULATS DE BASE .......................................................................................... 26 I.1 Concept de système mécanique .............................................................................................. 26 3 I.2 Représentation de systèmes mécaniques ................................................................................ 26 I.3 Corps rigide ............................................................................................................................... 26 I.4 Point lié à un corps rigide ......................................................................................................... 26 I.5 Postulat 3 : Notion de temps .................................................................................................... 26 I.6 Etude du mouvement : Trajectoire .......................................................................................... 27 I.7 Point coincidant ........................................................................................................................ 27 I.8 Paramètre d’un système .......................................................................................................... 27 I.9 Postulat 4 : Principe de la cinématique .................................................................................... 27 II. DERIVATION D’UN VECTEUR PAR UN OPERATEUR DONNE .................................................... 28 II. 1 Fonction vectorielle ................................................................................................................ 28 II.2 Dérivée dans Ri de w (t) exprimée dans Ri ............................................................................ 28 III. COMPOSITION DES VITESSES ET DES ACCELERATIONS ....................................................... 31 III.1 Définition du vecteur vitesse et du vecteur accélération de M ............................................. 31 III.2 Problème de la composition des vitesses et des accélérations ............................................. 32 DEUXIEME PARTIE : CINEMATIQUE DU SOLIDE ............................................................................... 35 I. RAPPEL DE LA FORMULE FONDAMENTALE .............................................................................. 35 II. ETUDE DIRECTE DE LA FORMULE FONDAMENTALE DE LA CINEMATIQUE DU SOLIDE........... 35 II.1 Théorème sur les champs de moment (rappel) ...................................................................... 35 II.2 Théorème fondamental ........................................................................................................... 36 II.3 Exemple d’application ............................................................................................................. 36 II.4 Remarque ................................................................................................................................ 38 III. ACCELERATION D’UN POINT APPARTENANT A UN SOLIDE ................................................. 38 III.1 Formule générale ................................................................................................................... 38 III.2 Exemple d’application ............................................................................................................ 39 IV. ETUDE DE MOUVEMENTS PARTICULIERS FONDAMENTAUX .............................................. 40 IV.1 Mouvement de translation .................................................................................................... 40 IV.2 Mouvement de rotation ......................................................................................................... 42 IV.3 Mouvement hélicoïdal ........................................................................................................... 44 Chapitre 3 : TENSEURS CARTESIENS D’ORDRE DEUX ............................................................................ 46 I. RAPPEL SUR LES CHANGEMENTS DE BASE ............................................................................... 46 II. CONVENTION DE L’INDICE MUET OU CONVENTION D’EINSTEIN ............................................ 48 II.1 Convention .............................................................................................................................. 48 II.2 Exemple ................................................................................................................................... 48 III. VECTEUR POLAIRE OU TENSEUR D’ORDRE UN .................................................................... 48 4 III.1 Changement de base pour un vecteur ................................................................................... 48 III.2 Définition générale d’un vecteur polaire ou tenseur d’ordre 1 ............................................. 49 IV. PREMIERE DEFINITION D’UN TENSEUR DU SECOND ORDRE ............................................... 49 IV.1 Dyade ou produit tensoriel de deux vecteurs ....................................................................... 49 IV.2 Changement de base pour le produit tensoriel ..................................................................... 50 IV.3 Définition d’un tenseur du second ordre ............................................................................... 51 IV.4 Forme matricielle des formules de transformation ............................................................... 51 IV.5 Généralisation de la notion de tenseur.................................................................................. 52 V. OPERATION SUR LES TENSEURS ............................................................................................... 53 V.1 Somme de deux tenseurs de même ordre .............................................................................. 53 V.2 Produit de deux tenseurs ........................................................................................................ 53 VI. AUTRE DEFINITION D’UN TENSEUR DU SECOND ORDRE .................................................... 55 VI.1 Rappel sur les formes bilinéaires et quadratiques ................................................................. 55 VI.2 Tenseur du second ordre et forme bilinéaire ou quadratiques ............................................. 56 VII. TENSEURS PARTICULIERS ...................................................................................................... 57 VII.1 Tenseur symétrique .............................................................................................................. 57 VII.2 Tenseur antisymétrique ........................................................................................................ 57 VII.3 Tenseur diagonal ................................................................................................................... 57 VII.4 Tenseur sphérique ................................................................................................................. 57 Chapitre 4 : GEOMETRIE DES MASSES ................................................................................................... 58 I. CHAMP DE MASSE SPECIFIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL ..................................................... 58 II. GRANDEURS ASSOCIEES AU CHAMP SCALAIRE ρ .................................................................... 58 III. GRANDEUR SCALAIRE ASSOCIEE AU CHAMP DE MASSE SPECIFIQUE D’UN SYSTEME. MASSE D’UN SYSTEME...................................................................................................................... 59 III.1 Définition de la masse d’un système ...................................................................................... 59 III.2 Expression de M suivant la nature du domaine ..................................................................... 59 III.3 Exemple .................................................................................................................................. 59 IV. GRANDEUR VECTORIELLE ASSOCIEE AU CHAMP DE MASSE SPECIFIQUE : CENTRE D’INERTIE D’UN SYSTEME ................................................................................................................. 60 IV.1 Définition du centre d’inertie ................................................................................................. 60 IV.2 Détermination du centre d’inertie de corps simples ............................................................. 61 IV.3 Détermination par fractionnement du centre d’inertie d’un système complexe ................. 64 V. GRANDEUR TENSORIELLE ASSOCIEE AU CHAMP DE MASSE SPECIFIQUE. TENSEUR D’INERTIE 65 V.1 Tenseur d’inertie Π0 ................................................................................................................ 65 5 V.2 Tenseur ∑ ................................................................................................................................. 67 V.3 Tenseur I Définition. Etude des éléments ......................................................................... 67 V.4 Etude du tenseur I. Propriétés. Méthode de calcul ................................................................ 68 Chapitre 5 : CINETIQUE ......................................................................................................................... 72 I. TORSEUR CINETIQUE ................................................................................................................ 72 I.1 Torseur cinétique...................................................................................................................... 72 I.2 Exemple .................................................................................................................................... 72 I.3 Théorème du centre d’inertie (concernant la somme cinétique) ............................................ 73 I.4 Théorèmes concernant le moment cinétique .......................................................................... 73 II. TORSEUR DYNAMIQUE ............................................................................................................. 76 II.1 Définition concernant l’élément de matière entourant P ....................................................... 76 II.2 Torseur des quantités d’accélération ou torseur dynamique ................................................. 76 III. RELATION ENTRE LE TORSEUR CINETIQUE ET LE TORSEUR DYNAMIQUE. CALCUL DU TORSEUR DYNAMIQUE ..................................................................................................................... 77 III.1 Relation entre ∑g et σg , calcul de ∑g ...................................................................................... 77 III.2 Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique. Calcul du moment dynamique ..................................................................................................................................... 77 IV. ENERGIE CINETIQUE .............................................................................................................. 79 IV.1 Définitions concernant l’énergie cinétique ............................................................................ 79 IV.2 Théorème de Koënig .............................................................................................................. 79 IV.3 Energie cinétique d’un solide ayant un point fixe Os dans Rg ................................................ 80 Chapitre 6 : THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE .................................................................... 82 PREMIERE PARTIE : PRINCIPES GENERAUX DE LA MECANIQUE CLASSIQUE ..................................... 82 I. LOI FONDAMENTALE POUR UN MATERIEL ISOLE .................................................................... 82 I.1 Point matériel ........................................................................................................................... 82 I.2 Notion de force ......................................................................................................................... 82 I.3 Loi fondamentale ...................................................................................................................... 83 II. REPERES PRIVILEGIES DE LA MECANIQUE CLASSIQUE ............................................................ 84 II.1 Relativité de la mécanique classique ....................................................................................... 84 II.2 Repères utilisés en pratique .................................................................................................... 85 III. TEMPS PRIVILEGIE ................................................................................................................. 87 III.1 Temps subjectif ...................................................................................................................... 87 III.2 Temps objectif, les horloges ................................................................................................... 87 DEUXIEME PARTIE : THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE CLASSIQUE ................................ 88 I. LOI FONDAMENTALE POUR UN SYSTEME MATERIEL (∑) ........................................................ 88 6 I.1 Forme de la loi fondamentale .................................................................................................. 88 I.2 Principe complémentaire : principe de l’action et de la réaction ............................................ 88 I.3 Propriétés des forces intérieures ............................................................................................. 88 II. THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL POUR UN SYSTEME (∑) .......................... 89 II.1 Théorème de la somme géométrique ..................................................................................... 89 II.2 Théorème du moment cinétique ............................................................................................ 89 TROISIEME PARTIE : ETUDE DES ACTIONS DE CONTACT ENTRE LES SOLIDES ................................... 91 I. ETUDE GEOMETRIQUE ET CINEMATIQUE DES LIAISONS ......................................................... 91 I.1 Degré de liberté d’un solide libre ............................................................................................. 91 I.2 Liaisons imposées à un système ............................................................................................... 91 I.3 Classification des liaisons d’après la nature des relations liant les paramètres ...................... 94 II. ETUDE DYNAMIQUE DES LIAISONS DIRECTES ENTRE DEUX SOLIDES (S1) et (S2) EN CONTACT PONCTUEL ......................................................................................................................................... 95 II.1 Lois de Coulomb concernant F12 .............................................................................................. 95 II.2 Résultats expérimentaux ......................................................................................................... 97 II.3 Lois de Coulomb concernant M12 (I) ........................................................................................ 97 Chapitre 7 : EQUATIONS DE LAGRANGE................................................................................................ 99 PREMIERE PARTIE : LES EQUATIONS DE LAGRANGE ......................................................................... 99 I. EQUATIONS DE D’ALEMBERT EN DYNAMIQUE ....................................................................... 99 II. DEFINITIONS- ELEMENTS VIRTUELS ......................................................................................... 99 II.1 Vitesse virtuelle ....................................................................................................................... 99 II.2 Transformation virtuelle – intervalle de temps virtuel ........................................................... 99 II.3 Puissance virtuelle ................................................................................................................. 100 III. VITESSES VIRTUELLES COMPATIBLES AVEC LES LIAISONS TELLES QU’ELLES EXISTENT A L’INSTANT t ..................................................................................................................................... 101 III.1 Configuration du système à l’instant t ................................................................................. 101 III.2 Laisons imposées au système ............................................................................................... 101 III.3 Déplacement virtuel élémentaire le plus général ................................................................ 101 III.4 Vitesse virtuelle la plus générale .......................................................................................... 102 III.5 Vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons telles qu’elles existent à l’instant t .......... 102 IV. PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES ACTIONS MECANIQUES ............................ 103 IV.1 Forme générale de la puissance ........................................................................................... 103 IV.2 Calcul de la puissance virtuelle dans quelques cas remarquables ....................................... 104 V. PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES QUANTITES D’ACCELERATION ...................... 105 V.1 Transformations préliminaires fondamentales ..................................................................... 105 7 V.2 Calcul des coefficients Ai ....................................................................................................... 106 Chapitre 8 : PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS .................................................................................. 107 I. RAPPEL : LIENS, SYSTEMES HOLONOMES ET NON HOLONOMES ......................................... 107 II. DEPLACEMENTS- VITESSES- TRAVAIL ET PUISSANCE VIRTUELLE .......................................... 110 II.1 Déplacement virtuel .............................................................................................................. 110 II.2 Vitesses virtuelles .................................................................................................................. 110 II.3 Travail virtuel ......................................................................................................................... 110 II.4 Puissance virtuelle ................................................................................................................. 111 III. CLASSIFICATION ENERGETIQUE DES LIENS ........................................................................ 111 III.1 Lien non -dissipatif ............................................................................................................... 111 III.2 Liens parfaits ou idéaux ........................................................................................................ 111 IV. PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS ..................................................................................... 111 V. uploads/s3/ cours-de-meca-generale-2018-2019.pdf