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Cours Fonctions Numériques Page 1 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako A- / Ensemble de définition d’une fonction : 1- / Définition : Soit f : A → B une fonction. On appelle ensemble de définition Df de f, l’ensemble des éléments x de A qui ont une image dans B par f. 2- / Exemples : Déterminer l’ensemble de définition Df de chacune des fonctions définies par. a) ) (x f = 3x2 + 4x – 9 ; b) 6 7 1 ) ( 2 + − + = x x x x f ; c) 5 4 ) ( − − = x x x f ; d) 2 3 ) ( 2 − + − = x x x f . B- / Limites : I- / Approche graphique : La fonction f est donnée par sa courbe représentative ci-dessous. 1-/ Déterminer l’ensemble de définition Df de f. 2-/ Trouver ) ( lim ; ) ( lim ; ) ( lim ; ) ( lim 0 0 x f x f x f x f x x x x ∞ + → ∞ − → → → − + Cours Fonctions Numériques Page 2 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique II-/ Calcul de limites : 1-/ Limites obtenues directement ou par transformation de l’expression : a/ Fonctions Polynômes : • Théorème 1 : À l’infini toute fonction polynôme a même limite que son monôme de plus haut degré. • Exemples : Calculer les limites suivantes 1 8 4 5 7 lim ; 4 3 5 lim ; 9 5 2 lim 2 3 4 2 3 2 3 + − + − + + − − + − + − ∞ − → ∞ + → ∞ − → x x x x x x x x x x x x x b/ Fonctions Rationnelles : • Théorème 2 : À l’infini toute expression se présentant sous la forme d’une fraction a même limite que le rapport des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. • Exemples : Calculer les limites suivantes 2 5 2 4 2 lim ; 2 8 lim ; 7 9 8 7 5 lim ; 2 5 4 7 6 5 3 lim 2 3 2 3 1 3 2 2 2 2 2 3 + − + − + + − − − + − + − + − − + − → → ∞ + → ∞ − → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c/ Fonctions Irrationnelles : Déterminer les ensembles de définition de chacune des fonctions puis calculer les limites suivantes. * 1 8 3 lim ; 1 8 3 ) ( 1 − + − − + − = → x x x x x f x ; ** ( ) ( ) 2 3 1 3 lim ; 2 3 1 3 lim ; 6 3 2 lim ; 6 3 2 lim ; 6 3 2 ) ( 2 2 2 2 2 + + − + + + − + − + − + − + = ∞ + → ∞ − → ∞ + → ∞ − → x x x x x x x x x x x x x f x x x x d-/ Fonctions Trigonométriques : Retenons que pour x très voisin de zéro on a : sinx = x d’où 0 cos 1 lim ; 2 1 cos 1 lim ; 1 tan lim ; 1 sin lim 0 ; 1 sin lim 0 2 0 0 0 0 = − = − = = ≠ = → → → → → x x x x x x ax ax a pour x x x x x x x Exercices : Calculer les limites suivantes x x x x x x et pour x x x x x x x sin 2 1 cos 2 1 lim ; sin sin lim ; sin lim 0 0 ; sin tan lim 4 0 0 3 0 − − ≠ ≠       − → → → → π β α β α β α 2-/ Limites obtenues par changement de variables : Exemple : 3 6 ; 3 cos 2 1 sin 2 lim 6 − = = − − − → Rép obtient on u x posant en x x x π π 3-/ Limites obtenues par encadrement : a) Si f(x) ≤ g(x) et +∞ = ∞ + → ) ( lim x f x alors +∞ = ∞ + → ) ( lim x g x . b) Si f(x) ≤ g(x) et −∞ = ∞ − → ) ( lim x g x alors −∞ = ∞ − → ) ( lim x f x . Cours Fonctions Numériques Page 3 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique c) Exemple : Soit x x x f x f cos 3 ) ( : + = a . Pour tout réel x on a : 3 ) ( 3 + ≤ ≤ − x x f x . • −∞ = ⇒ −∞ = ≤ − ≤ − ∞ − → ∞ − → ∞ − → ) ( lim ) ( lim ) 3 ( lim ; ) ( 3 x f x f x x f x x x x ; • +∞ = ⇒ +∞ = + ≤ + ≤ ∞ + → ∞ + → ∞ + → ) ( lim ) 3 ( lim ) ( lim ; 3 ) ( x f x x f x x f x x x . 4-/ Théorème des gendarmes : Soient f ; g et h trois fonctions telles que : ] [ b a x ; ∈ ∀ si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et l x g Alors l x h x f a x a x a x = = = → → → ) ( lim ) ( lim ) ( lim . Exemple : Calculer       + ∞ + → 1 3 sin lim 2 x x x 0 1 3 sin lim 1 1 1 3 sin 1 1 1 3 sin 1 2 2 2 2 =       + ⇔ + ≤ + ≤ + − ⇔ ≤ ≤ − ⇔ ∞ + → x x x x x x x x 5-/ Utilisation de la dérivée dans le calcul des limites : a) ) ( ' ) ( ) ( lim 0 0 0 0 x f x x x f x f x x = − − → . b) Exemples 1 ) 0 cos( ) 0 ( (sin)' 0 0 sin sin lim sin lim ; 0 cos 1 lim ; 2 4 1 tan lim 0 0 0 4 = = = − − = = − = − − → → → → x x x x x x x x x x x x π π C- / Continuité d’une fonction f : 1– Continuité en un point d’abscisse x0 : a) Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x d’ensemble de définition Df. On dit que f est continue au point d’abscisse x0 de Df si et seulement si ) ( 0 x f est définie et ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x = → .         = • • ⇔         → ) ( ) ( lim ) ( int 0 0 0 0 x f x f définie x f D de x po au continue est f x x f b) Exemple : – Soit x x x f 2 2 ) ( − = . La fonction f est-elle continue en x0=1 ? ; en x0=0 ? – Soit f définie par 2 2 ) ( + − = x x x f . Déterminer l’ensemble de définition Df de f. f est-elle continue en x0 = 2 ?. 2– Prolongement par continuité en un point : a) Définition :         ∈ = • ∉ •         → IR l l x f Df x si seulement et si x po au continuité par le prolongeab est f x x , ) ( lim , int 0 0 0 Son prolongement est la fonction g définie par    = ≠ = l x g x x si x f x g ) ( ) ( ) ( 0 0 Cours Fonctions Numériques Page 4 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique b) Exemple et contre exemple : – uploads/s3/ courfctn-pdf.pdf