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FST- Tanger Le 16 janvier 2018 Département de Physique Corrigé du CC2 Mécanique

FST- Tanger Le 16 janvier 2018 Département de Physique Corrigé du CC2 Mécanique des fluides-M1 Master génie énergétique Durée : 2h00mn Exercice 1 : La notation indicielle 20mn 3pts En notation indicielle les expressions suivantes sont-elles correctes ? Indiquer pourquoi. 1/ dS=√dxi.dxi 2/ aik.ϵkk+bi=ei 3/ f =aij.bkj 4/ ∂Skl ∂xij =δ ik.δlj−δij. δkl 3 5/ dai=J ∂xm ∂xi .dAm 6/ T ii+α=0 Réponse 1 : 1/ V : une seule sommation donc un scalaire 2/ F : trois indices jamais dans un monôme. 3/ F : f est un scalaire mais le second membre est une matrice ( tenseur d’ordre 2 ) 4/ V : la différence de deux tenseurs d’ordre 4 est un tenseur d’ordre 4 5/ V : un vecteur (tenseur d’ordre 1 ) peut s’écrire comme produit d’une matrice par un vecteur 6/ V : le premier monôme est la trace d’une matrice qui est un scalaire. Exercice 2 : La cinématique des fluides 20mn 3pts On considère le champ de vitesse d’un écoulement ⃗ V=ωy ⃗ ex−(ωx−aω 2t )⃗ e y avec a et ω sont des constantes non nulles. a/ Calculer l’accélération ⃗ γ en représentation Lagrangienne. b/ Déterminer l’équation des trajectoires sous forme paramétrique x=x(t) et y= y(t) en supposant que x0=x(0) et y0= y(0). Réponse 2 : Notons que l’écoulement est plan donc : V x=∂x (t) ∂t =ωy et V y=∂y (t) ∂t =−(ωx−aω 2t ) a/ Par une dérivation temporelle directe de la vitesse on obtient l’accélération ⃗ γ en représentation Lagrangienne, il suffit de calculer Pr. MAKROUM Hassan γ x=∂V x ∂t =ωV y=−(ω 2x−aω 3t )=−ω 2(x−aωt ) γ y= ∂V y ∂t =−ωV x+aω 2=−ω 2 y+aω 2=ω 2 (a−y ) b/ Par une intégration temporelle de la vitesse on obtient les coordonnées de position x (t ) et y (t) ∂x ∂t =ωy (1) et ∂y ∂t =−ωx+aω 2t (2) On dérive une deuxième fois l’équation (2), on obtient ¨ y+ω 2 y=aω 2 sa solution est y (t)=A cos (ωt +φ)+a (3) Ensuite on l’injecte dans (1) on trouve x (t )= Asin (ωt+φ)+at (4) Avec x0= Asinφ et y0−a=Acosφ, tels que A=√x0 2+( y0−a) 2 et φ= Arctg x0 y0−a Exercice 3 : Fluide incompressible 20mn 4pts On considère un fluide incompressible de masse volumique homogèneρ0. On note ⃗ U et p les champs eulériens caractérisant son mouvement. On suppose qu’il est soumis aux forces extérieures de gravité⃗ f =−ρ0g ⃗ ez. 1/ Ecrire les équations de Navier-Stokes en notant μ la viscosité cinématique. 2/ Dans le cas⃗ f =−ρ0g ⃗ ez, calculer la pression p dans le cas hydrostatique ⃗ U =⃗ 0 en supposant que p (0)=p0 à l’origine. 3/ Dans le cas ⃗ f =⃗ 0, calculer la pression p dans le cas ⃗ U =−α z 2 ⃗ ex, où α est une constante positive, en supposant que p (0)= p0 à l’origine. 4/ Dans le cas ⃗ f =−ρ0g ⃗ ez et ⃗ U =−α z 2 ⃗ ex, Calculer la pression p en supposant que p (0)= p0 à l’origine. Comparer avec les deux questions précédentes. Réponse 3 : 1/ Les équations de NS sont : L’équation de la conservation de la masse : ¿⃗ U=0 (1) L’équation de la quantité de mouvement : d ⃗ U dt =−g ⃗ ez−1 ρ0⃗ grad p+μ ∆⃗ U (2) Pr. MAKROUM Hassan 2/ L’équilibre hydrostatique ⃗ 0=−g⃗ ez−1 ρ0⃗ grad p conduit à p(z)=p0−ρ0gz 3/ Dans le cas où il n’y a pas des forces volumiques l’équation de NS (2) s’écrit : ∂⃗ U ∂t +(⃗ U .⃗ grad ).⃗ U=−1 ρ0 ⃗ grad p+μ∆⃗ U (3) Sachant que ⃗ U =(−α z 2;0; 0) alors ∂⃗ U ∂t =⃗ 0 ; (⃗ U .⃗ grad ).⃗ U=−α z 2 ∂⃗ U ∂x =⃗ 0 et ∆⃗ U =−2α ⃗ ex Et l’équation (3) devient : ⃗ grad p=ρ0μ ∆⃗ U et par projection on aura : ∂p ∂y=∂p ∂z =0 signifie que p ne dépend que de x ∂p ∂x =−2ρ0μα d’où p(x)=p0−2 ρ0 μαx. 4/ En suivant une démarche similaire à ces deux questions précédentes, on trouve que p (x, z )=p0−ρ0gz−2 ρ0μαx. Dans la mesure où le terme non linéaire (⃗ U .⃗ grad ).⃗ U est nul, les équations de NS deviennent linéaires. On peut donc superposer les solutions. Exercice 4 : Ecoulement de Poiseuille en conduite cylindrique 40mn 7pts On étudie l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible de masse volumique ρ et de viscosité dynamique μ, dans une canalisation cylindrique de rayon faible R et d’axe O ⃗ z horizontal, de longueur L. Un point dans la canalisation est repéré par ses coordonnées cylindriques. L’influence de la pesanteur sur l’écoulement est négligée. On suppose que le champ de vitesse est ⃗ V=V (r , z ) ⃗ e z et que la pression est p= p (r , z ). 1/ Ecrire les équations de Navier-Stokes et donner la signification physique de chaque terme de cette équation. 2/ Faire un schéma clair et précis du dispositif. 3/ De quelle variable dépend la vitesse de l’écoulement ? 4/ Déterminer l’accélération de la particule fluide. 5/ En déduire que la pression ne dépend pas de r, calculer la pression en fonction des deux valeurs aux extrémités du tuyau. 6/ Déterminer la vitesse du fluide. Dans quelle(s) condition(s) cette vitesse est nulle ? 7/ Représenter les variations de la vitesse. Commenter Réponse 4 : Pr. MAKROUM Hassan On a un fluide visqueux de viscosité dynamique μ, dans une canalisation cylindrique de rayon faible R et d’axe O ⃗ z horizontal, de longueur l. On note pe la pression à l’entrée en z=0 et r=0 et ps la pression à la sortie en z=L et r=0. Ainsi ∆p=ps−pe L’écoulement est stationnaire ∂⃗ V ∂t =⃗ 0 La vitesse est unidimensionnelle ⃗ V=V (r , z ) ⃗ e z=V z ⃗ ez donc V r=V θ=0 Le problème invariant par rotation autour de ⃗ ez: ⃗ V (r ,θ, z )=⃗ V (r ,z ) L’écoulement est incompressible ¿⃗ V=0; ¿⃗ V=1 r ∂ ∂r (r V r)+ 1 r ∂V θ ∂θ + ∂V z ∂z =0 ce qui donne ∂V z (r ,z ) ∂z =0 1/ Les équations de NS sont : L’équation de la conservation de la masse : ∂V z (r ,z ) ∂z =0 (1) L’équation de la quantité de mouvement : ρ d ⃗ V dt =−⃗ grad p+μ∆⃗ V Qui s’écrit : ρ (⃗ V .⃗ grad )⃗ V =−⃗ grad p+μ ∆⃗ V (2) Le premier membre est un terme convectif et non linéaire Le premier terme du second membre est un terme des efforts normaux de pression Le second terme du second membre est un terme des efforts tangentiels de viscosité 2/ Schéma du dispositif 3/ D’après (1) la composante V z ne dépend que de r et donc ⃗ V=V (r ) ⃗ ez=V z ⃗ e z 4/ L’accélération est : (⃗ V .⃗ grad )⃗ V=(V z ∂ ∂z)V z ⃗ ez=⃗ 0 5/ En coordonnées cylindriques : Calculons tout à d’abord le terme de viscosité ∆V z ⃗ ez=[ 1 r ∂ ∂r (r ∂V z ∂r )+ 1 r 2 ∂ 2V z ∂θ 2 + ∂ 2V z ∂z 2 ] ⃗ e z ∆V z ⃗ ez=[ 1 r ∂ ∂r (r ∂V z ∂r )] ⃗ ez et faisons la projection de l’équation (2) : Pr. MAKROUM Hassan { 0=−∂p ∂r 0=−1 r ∂p ∂θ 0=−∂p ∂z +μ 1 r ∂ ∂r(r ∂V z ∂r ) D’après les deux premières équations la pression ne dépend que de la variable z, donc : On remarque que la dernière relation est une égalité de deux fonctions de variable indépendantes. On a dp dz =μ 1 r d dr(r dV z dr )=K On en déduire p (z)=p0+Kz et comme ∆p=ps−pe=p (L)−p (0 ); on a p (z)=p0+ ∆p L z 6/ On en déduit donc : μ 1 r d dr (r dV z dr )=∆p L ⇔ d dr (r d V z dr )=∆p μL r ⇔ r dV z dr = ∆p μL r 2 2 +C ⇔ dV z dr =∆p μL r 2+ C r ⇔ V z(r )= ∆p μL r 2 4 +Cln( r r0)+ D Or les conditions aux limites imposent |V z (0)| doit être fini donc C doit être nul |V z (R )|=0 car le fluide est visqueux et le paroi immobile. On en déduit donc : V z(r )=−R 2∆p 4 μL (1−r 2 R 2) 7/ Graphe et commentaire: Le profil des vitesses est parabolique ; il est maximal au milieu de l’écoulement c-à-d pour r=0 et nul sur les parois. Le signe de la vitesse dépend du signe de ∆p: Si ∆p>0; on trouve une vitesse négative : c’est normale, puisque cela implique que la pression en z=L et plus importante que celle en z=0. Exercice 5 : Ecoulement de potentiel uploads/s3/ corrige-du-cc2-mastermecaflu-1718.pdf