ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRO

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2002 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l’épreuve : 3 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I – Filière MP L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 7 pages. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. • Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ASPECTS DES TRANSITIONS Les deux parties proposées dans cette épreuve sont indépendantes. La première partie étudie l’équilibre d’un fluide décrit par l’équation de Van der Waals et la transition d’état liquide-vapeur. La seconde partie de l’épreuve traite de l'évolution d'un système thermodynamique vers un état station- naire de non-équilibre. I - Forces et limites de l'équation d'état de Van der Waals. À la différence de l'équation d'état des gaz parfaits, cette équation rend compte des transitions de phase liquide-vapeur et de l'existence d'un point critique. Elle permet aussi de modéliser l'existence de retards aux changements d'état. Néanmoins, et particulièrement au voisinage du point critique, il sub- siste des écarts notables entre ses prévisions et l'expérience. I-A L'équation de Van der Waals et les mesures au voisinage du point critique. L'équation de Van der Waals relie la pression P, le volume V et la température T d’un fluide en introduisant deux constantes a et b, positives et caractéristiques de ce fluide ; pour une mole, et en notant R la constante des gaz parfaits : P + a V 2       V −b ( )= RT . [1] Physique I – Filière MP - 2002 K 1 – Établir l'équation de Van der Waals pour n moles de fluide en utilisant des consi- dérations sur le caractère intensif ou extensif des variables. Dans la suite, on raisonnera sur une mole de fluide. K 2 – La constante b, nommée covolume, représente l'effet de la répulsion à courte distance entre deux molécules. Dans le cas de molécules de faible atomicité, donner un ordre de grandeur numérique raisonnable pour b en vous appuyant sur un modèle simple. K 3 – La figure ci-contre représente, en unités réduites, l'énergie d'interaction W entre deux molécules, en fonc- tion de la distance r séparant leurs centres de masse. À grande distance, W ∝r −6. Commenter cette figure ; sau- riez-vous nommer, voire décrire l’origine physique de l’interaction à grande distance ? à très courte distance ? K 4 – Quel effet représente la constante a ? Comment justifier le signe positif de a ? Comment interpréter le fait que le terme correctif de la pres- sion (la référence étant le gaz parfait) soit une fonction décroissante du volume ? K 5 – L’isotherme critique est celle qui possède dans le diagramme P,V ( ) un point critique, point d'inflexion de pente nulle. Déterminer en fonction des constantes a, b et R les coordonnées Pc, Vc et Tc du point critique C. Justifier le fait que Van der Waals ait pu pré- voir les coordonnées du point critique de l'hélium (Tc = 5,2 K, Pc = 2,275 × 105 Pa) en 1873, bien avant que la technique ne permette d'atteindre de telles températures. Aurait-il été légitime d’exiger a priori la relation P cV c= RTc ? K 6 – Commenter le diagramme ci- contre, représentant trois isothermes du fluide décrit par l'équation [1] pour les températures T1 > Tc, T2 = Tc et T3 < Tc. La courbe en pointillés est le lieu des points où ∂P ∂V       T = 0. K 7 – Représenter dans un diagramme analogue l’allure des isothermes pour un fluide réel quand il ne se produit aucun retard au changement d'état. Faire figurer sur ce dernier diagramme la courbe de saturation. K 8 – Quel est le facteur de compressibilité critique zc= P cV c RTc prévu par l'équation de Van der Waals ? On mesure en fait des coefficients zc compris entre 0,29 et 0,31. K 9 – Les variables réduites pr = P P c , vr = V Vc et θr = T Tc permettent la représentation de tous les « fluides de Van der Waals » par une équation unique, qui s'écrit : pr = αθr βvr −1 −γ vr 2 . Déterminer les valeurs de α, β et γ RQWURXYHUDTXHFHVRQWGHVQRPEUHVHQWLHUV . 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 ln P P c       = f ln V Vc               Physique I – Filière MP - 2002 K 10 – Soient ρ la masse volumique du fluide et ρc sa valeur au point critique. Introduisant les écarts réduits ρ∗= ρ −ρc ρc et p∗= P −P c P c , trouver la valeur de l’exposant critique δ, défini par la propriété suivante, que l’on établira : sur l’isotherme critique, pour ρ* << 1, p∗≈D ρ* δ , où D est une constante. K 11 – La valeur expérimentale de δ est δexp = 4,80 ± 0,02 ; en quoi la différence δexp−δ renseigne-t-elle sur le modèle de Van der Waals ? K 12 – Proposer un dispositif expérimental permettant de faire passer un échantillon de fluide par un état très voisin du point critique. Quel phénomène optique permet de repérer le passage par le point critique ? Quelle en est l'origine ? I-B Énergie interne, capacité calorifique molaire à volume constant et entropie d'un gaz de Van der Waals. Dans cette section, nous nous proposons de comparer un gaz de Van der Waals au gaz parfait associé. L’énergie interne est notée U et l’entropie S. K 13 – À partir de l’expression différentielle du deuxième principe de la thermodynamique, établir l'équation de Helmholtz ci-dessous pour un fluide divariant : ∂U ∂V       T = T 2 ∂P T ( ) ∂T       V . K 14 – En déduire, sous forme d'une intégrale portant sur le volume, la différence entre l'énergie interne d'une mole de fluide et l'énergie interne d'une mole de gaz parfait pris tous deux à la température T et dans le volume V. K 15 – Comment s’exprime cette différence dans le cas du gaz de Van der Waals ? K 16 – Quel est le comportement d'un gaz de Van der Waals dans une détente de Joule- Gay-Lussac ? K 17 – Comparer les capacités calorifiques molaires à volume constant des deux gaz. K 18 – En considérant la différentielle de l'énergie libre F =U −TS , montrer que la diffé- rence des énergies libres molaires du gaz de Van der Waals (VdW) et du gaz parfait (GP) s’écrit F VdW T,V ( )−F GP T,V ( )= −a V −RT ln V −b V       . Exprimer, dans la représentation T,V ( ), l'équation d'une adiabatique réversible pour une mole de gaz de Van der Waals. I-C Isothermes pour T < Tc, états instables, états métastables et courbe spinodale. On se propose d'établir le théorème de Maxwell qui permet de remplacer l’isotherme déduite de l'équation de Van der Waals par une isotherme présentant un palier de changement d'état. Il s'agit d’abord de trouver la pression à laquelle est observé le changement d'état à la température T, avec T < Tc. On discutera ensuite de la signification des portions de l’isotherme initiale qui ont disparu. Physique I – Filière MP - 2002 K 19 – En se référant au diagramme ci-dessous, donner sans démonstration la relation liant les potentiels chimiques molaires (notés µ) des deux phases : liquide au point A et vapeur au point B. Établir la relation entre les aires hachurée de ce diagramme (ce résultat constitue le théorème de Maxwell). On pourra, par exemple, partir de l'expression de la différentielle du potentiel chimique molaire dans la représentation T,P ( ) pour des grandeurs molaires : d µ = −sd T + vd P , ou encore exprimer directement Pdv A B ∫ … 0.75 1 1.25 1.5 uploads/s3/ aspects-des-transitions.pdf

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